Rasgele bir Boole işlevinin beklenen minimum etkisi

Boole işlevi , Değişkenin etkisi burada $f\colon\{-1,1\}^n \to \{-1,1\}$ $i$

{Inf}_{i} [f] \overset{d e f}{=} \underset{x \sim {- 1, 1}^{n}}{Pr} [f (x) \neq f (x^{\oplus i})]

$\operatorname{Inf}_i[f] \stackrel{\rm def}{=} \Pr_{x\sim\{-1,1\}^n}[ f(x) \neq f(x^{\oplus i})]$

.bitiniçevirerek elde edilen dizedir. Minimum etkisi

daha sonra

x^{\oplus i}

$x^{\oplus i}$

i

$i$

x

$x$

f

$f$

MinInf [f] \overset{d e f}{=} min_{i \in [n]} {Inf}_{i} [f] .

$\operatorname{MinInf}[f] \stackrel{\rm def}{=} \min_{i\in[n]}\operatorname{Inf}_i[f].$

Bir parametre göz önüne alındığında , bir tercih -rasgele fonksiyonu her biri üzerinde değerini seçerek olduğu, bağımsız bir şekilde rastgele girişler olasılığı ile ve olasılık ile . Ardından, her $p\in[0,1]$ $p$ $f$ $2^n$ $1$ $p$ $-1$ $1-p$ $i\in[n]$ vebir fortiori

E_{f} [{Inf}_{i} [f]] = 2 p (1 - p)

$\mathbb{E}_{f}[\operatorname{Inf}_i[f]] = 2p(1-p)$

I_{n} (p) \overset{d e f}{=} E_{f} [MinInf [f]] \leq 2 p (1 - p) .

$I_n(p) \stackrel{\rm def}{=}\mathbb{E}_{f}[\operatorname{MinInf}[f]] \leq 2p(1-p).$

Sorum şu:

için asimptotik olarak ( ile ilgili ) sıkı bir ifade var mı? için bile $n$ $I_n(p)$ , böyle bir ifade alabilir miyiz? $p=\frac{1}{2}$

$2p(1-p)-I_n(p)$

(Bir sonraki soru, ancak birincinin altında olan, kişinin bu beklentinin etrafında iyi konsantrasyon sınırları elde edip edemeyeceğidir.)

$\operatorname{Inf}_i[f]$

\frac{1}{2} - O (\sqrt{\frac{n}{2^{n}}}) \leq I_{n} (\frac{1}{2}) \leq \frac{1}{2}

$\frac{1}{2} - O\left(\sqrt{\frac{n}{2^n}}\right) \leq I_n\left(\frac{1}{2}\right) \leq \frac{1}{2}$

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

$n$ $n$

$I_n(1/2)$ $n=4$ $n=20$

reference-request pr.probability boolean-functions

— Clement C.
kaynak

\begin{aligned} 1 & 0.500 \\ 2 & 0.375 \\ 3 & 0.3359375 \\ 4 & 0.339141845703125 \\ 5 & 0.3623 \\ 6 & 0.3907 \\ 7 & 0.4166 \\ 8 & 0.4373 \\ 9 & 0.4535 \\ 10 & 0.4659 \\ 11 & 0.4751 \\ 19 & 0.4965 \\ 20 & 0.4967 \end{aligned}

$\begin{align}1 &\qquad 0.500\\ 2 &\qquad 0.375\\ 3 &\qquad 0.3359375\\ 4 &\qquad 0.339141845703125\\ 5 &\qquad 0.3623\\ 6 &\qquad 0.3907\\ 7 &\qquad 0.4166\\ 8 &\qquad 0.4373\\ 9 &\qquad 0.4535\\ 10 &\qquad 0.4659\\ 11 &\qquad 0.4751\\ 19 &\qquad 0.4965\\ 20 &\qquad 0.4967\\ \end{align}$

İşte doğru yönde bir adım ...

$p=1/2$ $1/2 - I_n(1/2) = \Omega(\sqrt{1/2^n})$

$\Omega(\sqrt{n/2^n})$

Göstermek için yeterli $1/2 - E_f[\min(\text{Inf}_1[f],\text{Inf}_2[f])] = \Omega(\sqrt{1/2^n})$

$\text{Inf}_1[f]$ $\text{Inf}_2[f]$ $1/2-\Omega(\sqrt{1/2^n})$

noktalarının evrenini düşünün . Çağrı ve in -neighbors onlar sadece farklılık varsa koordine inci. İki komşu ki katkı (üzere -neighbors, bölü ). Not bu, eğer ve olarak -neighbors ve ve olan $X=\{-1,1\}^n$ $x$ $x'$ $X$ $i$ $i$ $\text{Inf}_i[f]$ $f(x) \ne f(x')$ $\text{Inf}_i[f]$ $i$ $2^{n-1}$ $x$ $x'$ $i$ $y$ $y'$ $i$ $\{x,x'\}=\{y,y'\}$ $\{x,x'\}\cap\{y,y'\}=\emptyset$ $i$ $2^{n-1}$ $1/2$

$X$ $2^{n-2}$ $x$ $x'$ $x$ $x'$ $(x,x')$ $(x,x')$ $x$ $x'$ $g$ $i\in\{1,2\}$ $c^g_i$ $i$ $g$ $\sum_g c^g_1$ $2^{n-2}$ $\{0,1,2\}$

$c^g_1$ $c^{g'}_2$ $g\ne g'$ $g=g'$ $c^g_1$ $c^g_2$

\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 / 8 & 0 & 1 / 8 \\ 1 & 0 & 1 / 2 & 0 \\ 2 & 1 / 8 & 0 & 1 / 8 \end{array}

$\begin{array}{c|ccc} & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & 1/8 & 0 & 1/8 \\ 1 & 0 & 1/2 & 0 \\ 2 & 1/8 & 0 & 1/8 \\ \end{array}$

$N=\{ g : c^g_1=c^g_2=1\}$

| N | + \sum_{g \in \bar{N}} c_{1}^{g} .

$|N| + \sum_{g\in \overline{N}} c^g_1.$

$N$ $g\in \overline N$ $c^g_1$ $c^g_2$ $N$ $\{c^g_i : i\in\{1,2\}, g\in\overline N\}$ $\{0,2\}$

E [| \bar{N} | - min (\sum_{g \in \bar{N}} c_{1}^{g}, \sum_{g \in \bar{N}} c_{2}^{g}) | N] \geq Θ (\sqrt{| \bar{N} |}) .

$\textstyle E\Big[|\overline N|- \min\big(\sum_{g\in \overline N} c^g_1, \sum_{g\in \overline N} c^g_2\big) ~\Big|~ N\Big] \ge \Theta(\sqrt{|\overline N|}).$

Son olarak, her grup olasılık 1/2 ile nötr olduğunu unutmayın, bu yüzden $\Pr[|\overline N| \le 2^{n-2}/3]$ $\exp(-\Omega(2^n))$ $-2^n$

— Neal Young
kaynak

n

$n$