Neden log-space'i verimli bir hesaplama modeli olarak görüyoruz (polylog-space yerine)?

Bu, somut bir cevaptan ziyade öznel bir soru olabilir, ama yine de.

Karmaşıklık teorisinde, verimli hesaplamalar kavramını inceliyoruz. Gibi sınıflar vardır açılımı polinom zaman ve açılımı günlük alanı . Her ikisinin de bir tür "verimlilik" olarak kabul edildiği düşünülür ve bazı sorunların zorluklarını oldukça iyi yakalarlar.$\mathsf{P}$$\mathsf{L}$

Ancak arasında bir fark vardır ve : polinom zamanda, süre , çalışan sorunların birlik olarak tanımlanır herhangi bir sabit zamanında , yani,$\mathsf{P}$$\mathsf{L}$$\mathsf{P}$$O(n^k)$$k$

$\mathsf{P} = \bigcup_{k \geq 0} \mathsf{TIME[n^k]}$ ,

günlük alanı, , . tanımını taklit , olur$\mathsf{L}$$\mathsf{SPACE[\log n]}$$\mathsf{P}$

$\mathsf{PolyL} = \bigcup_{k \geq 0} \mathsf{SPACE[\log^k n]}$ ,

burada , polylog uzayının sınıfı olarak adlandırılır . Sorum şu:$\mathsf{PolyL}$

Neden loglogları polylog space yerine verimli hesaplama kavramı olarak kullanıyoruz?

Bir ana sorun, tüm sorun kümeleriyle ilgili olabilir. çok-bir azaltma altında, hem hem de problemleri tamdır. Buna karşılık, eğer bu gibi indirimler altında problemler , uzay hiyerarşisi teoremiyle . Peki ya polylog redüksiyonlarına geçersek? Bu tür problemlerden kaçınabilir miyiz? Genel olarak, in verimlilik kavramına uyması için elimizden gelenin en iyisini ve (gerekirse) bazı iyi tanımlamaları "güzel" bir sınıfın sahip olması gereken her iyi özellik için elde etmek için değiştirirsek, ne kadar ileri gidebiliriz?$\mathsf{P}$$\mathsf{L}$$\mathsf{PolyL}$$\mathsf{PolyL}$

Pollog alanı yerine log alanı kullanmanın teorik ve / veya pratik sebepleri var mı?

Doğrusal zaman içeren ve alt yordamlar altında kapalı olan en küçük sınıf P'dir. Log alanı içeren ve alt yordamlar altında kapalı olan en küçük sınıf hala kütük alanıdır. Dolayısıyla P ve L sırasıyla zaman ve mekan için en küçük sağlam sınıflardır ve bu nedenle verimli hesaplamayı modellemek için doğru hissederler.

Bir sorun, olup olmadığı bilinmiyor . Bu, verimlilik kavramını öldürür. Başka bir kayda göre, otomatının tarafından tanınan dillerin kesişme noktasının boş olmadığının belirlenmesi logspace indirimleri altında [Lange-Rossmanith] . Belki deterministik polylog-space için benzer bazı problemler vardır.$\text{SPACE}[\log^2 n] \subseteq \text{P}$$\log^{k-1}(n)$$\text{NSPACE}$$[\log^k n]$$\text{-complete}$

sınıfı geçmişte incelenmiştir. [Cook] , olduğunu kanıtladı . Derrick Stolee tarafından belirtildiği gibi, bu sınıf şimdi olarak bilinir ve olarak genelleştirilmiştir . Daha fazla bilgi burada .$\text{PLOSS} = \bigcup_k \text{TISP}[n^k, k \, \log^2 n]$$\text{DCFL} \subseteq \text{PLOSS}$$\text{SC}^2$$\text{SC}^k$

Log-space, polinom süresini garanti eder, çünkü verilen log-turing makinesinin en fazla konfigürasyonu vardır. Yönlendirilmemiş Erişim ve Yönlendirilmiş Erişim'in (sırasıyla L ve NL için) tam sorunları hakkında düşünmek çok "güzel".$2^{O(\log n)} = \operatorname{poly}(n)$

PolyL tanımınızın, Savitch teoremine göre PolyL = NPolyL de verdiğini unutmayın, çünkü .$\text{NSPACE}[\log^k n] \subseteq \text{SPACE}[\log^{2k}n]$

Polylog uzayı söz konusu olduğunda, SC hiyerarşisini vererek, eşzamanlı polinom zamanı ile pollo-uzayı göz önünde bulundurmak için çalışmalar yapıldı: . $\text{SC}^k = \text{TISP}[\operatorname{poly}(n), \log^k n]$

Diğer tüm cevapların çok iyi olduğunu düşünüyorum; Bu konuda farklı bir bakış açısı vermeye çalışacağım.

P'nin gerçek dünyada ne kadar "verimli" hesaplamayı ne kadar iyi bildiğini bilmiyorum, ancak iyi kapatma özellikleri ve diğer matematiksel nedenlerden dolayı sınıfı seviyoruz. Benzer şekilde, L yukarıda belirtilen sebeplerden bazıları nedeniyle iyi bir sınıftır.

Ancak, yorum yaptığınız gibi, "verimli" tanımımızı yarı-polinom zamanına gevşetirsek, PolyL de etkilidir. Bazı kaynaklara bağlı logaritmik olarak tanımlanmış sınıfların bunun yerine polylog kaynaklarını kullanmalarına izin verdiğimiz karmaşıklık teorisini tartışabiliriz. Buna bağlı olarak, bunun yerine yarı-polinom büyüklüğünde devrelere izin vermek için NC, NL vb. Tanımlarımızı da rahatlatırız. Bunu yaparsak, NC ₁ , L, NL ve NC hepsi PolyL sınıfına denk gelir. Bu anlamda PolyL, pek çok doğal sınıfın kendisiyle çakıştığı için güçlü bir sınıftır. Log -> polylog ve polinom -> quasi-polinomlu karmaşıklık teorisi hakkında daha fazla bilgi için, bkz . Barrington'un Quasipolynomial beden devre sınıfları .

PolyL veya quasi-AC ₀ gibi benzer sınıfları incelemenin bir başka nedeni de, (örneğin) ParityP ve PH arasında yapılan bir ayrılık, PARITY'nin AC _0'da bulunmadığını ima ederken, ters çıkarımın doğru olmadığı bilinir. Öte yandan, eğer ve sadece ParityP ve PH arasında bir kehanet ayrımı varsa , PARITY yarı-AC _0'da bulunmaz. Benzer şekilde, quasi-TC ₀ ve quasi-AC ₀ sınıfları, eğer sadece CH ile PH arasında bir kehanet ayrımı varsa, farklıdır. Kanıtlamak için üstel tarafından küçültülmüş olduğunda PH gibi olağan karmaşıklık sınıfları Yani, vb ModPH, CH, oracle sonuçları olağan sınıfların yarı polinom sürümleri içine ac açmak ₀ , ACC ₀ ve TCSırasıyla ₀ . Benzer şekilde, Toda'nın teoreminde (PH, P ^{PP'de bulunur} ) kullanılan argüman , yarı AC _0'ın derinlik-3 yarı-TC _0'da bulunduğunu göstermek için kullanılabilir . (Aynı sonucun bu sınıfların normal versiyonları için de bilinip bilinmediğini bilmiyorum. Bunu bazı makalelerde açık bir problem olarak görmüştüm.)