Maksimum ağırlık uyumu ve alt modül fonksiyonları

Pozitif ağırlığa sahip iki taraflı bir grafiği verildiğinde ve , grafikteki maksimum ağırlığa eşittir . $G = (U \cup V, E)$ $f: 2^U \rightarrow \mathbb{R}$ $f(S)$ $G[S\cup V]$

Bunun doğru mudur bir Altmodüler işlevdir? $f$

matching submodularity

— George Octavian Rabanca
kaynak

Ne düşünüyorsun? Bunu kanıtlamayı / çürütmeyi denediniz mi?

— Yuval Filmus

Sezgisel olarak gerçek olması gerektiği gibi görünüyor ama kanıtlayamadım. Ayrıca, eğer doğruysa iyi bilinen bir sonuç olması gerektiğini düşünüyorum, ancak bir referans bulamadım.

— George Octavian Rabanca

Bu, ağırlıksız vakalar için geçerlidir, çünkü minimum kesintilere indirgenebilir. Ağırlıklı versiyonun nasıl kanıtlanacağı belli değil ...

— Chao Xu

Kenar ağırlıkları 1,1,1,2 olan

düşünün

K_{2, 2}

$K_{2,2}$ .

— András Salamon

@ AndrásSalamon Son adımda

f

$f$ katkı maddesi olduğunu varsaydığınız anlaşılıyor , ki bu doğru değil.

maksimum eşleşmesi,

S \cap T

$S\cap T$ hem

S ∖ T

$S \setminus T$ hem de

eşleşmesi tarafından daha önce kullanılmış olan köşeleri kullanabilir

T ∖ S

$T \setminus S$ . Bunun için bir kanıtım var ama kesinlikle bundan daha fazla dahil.

— George Octavian Rabanca

Tanım . Belirli bir sonlu küme , küme fonksiyonu herhangi bir için alt modül şeklindedir ve şunları içerir: $A$ $f:2^A \rightarrow \mathbb{R}$ $X, Y \subseteq A$

f (X) + f (Y) \geq f (X \cup Y) + f (X \cap Y) .

$f(X) + f(Y) \geq f(X \cup Y) + f(X \cap Y).$

Lemma Pozitif kenar ağırlıklarına sahip iki taraflı bir grafik verildiğinde , , eşleşen maksimum ağırlık değerine eşleyen işlev olsun . Sonra altmodülerdir. $G = (A \cup B, E)$ $f: 2^A \rightarrow \mathbb{R}^+$ $S\subseteq A$ $G[S \cup B]$ $f$

Kanıt. Düzeltme iki set ve izin ve grafikler için iki Eşleme olduğu ve , sırasıyla. Lemma kanıtlamak için kenarları bölüm mümkün olduğunu göstermek için yeterlidir ve iki ayrık eşleşmeleri halinde ve $X, Y \subseteq A$ $M_\cap$ $M_\cup$ $G[(X\cap Y) \cup B]$ $G[(X \cup Y) \cup B]$ $M_\cap$ $M_\cup$ $M_X$ $M_Y$ ve grafikleri için . $G[X\cup B]$ $G[Y\cup B]$

Kenarları ve alternatif yollar ve döngü bir koleksiyon oluşturur. bu koleksiyonu göstermesine izin verin ve hiçbir döngüsünün veya köşeleri içermediğini gözlemleyin . Bunun nedeni tutan o köşeleri eşleşmiyor. $M_\cap$ $M_\cup$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$ $X\setminus Y$ $Y\setminus X$ $M_\cap$

Let de yollar kümesi de en az bir tepeye sahip ve izin bölgesindeki yollar kümesi de en az bir tepeye sahip . Bu şekilde iki yol aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. $\mathcal{P}_X$ $\mathcal{C}$ $X \setminus Y$ $\mathcal{P}_Y$ $\mathcal{C}$ $Y \setminus X$

İstem 1. . $\mathcal{P}_X \cap \mathcal{P}_Y = \emptyset$

Bir yol var olduğu çelişki varsayalım . Let bir tepe olarak yolu ile ve benzer izin bir tepe olarak yolu ile . Ne yana gözlemleyin ne de aittir bunlar uygun ait olmayan tanım olarak, ve bu nedenle yolu son noktaları olan . Ayrıca, her iki yana ve $P \in \mathcal{P}_X \cap \mathcal{P}_Y$ $x$ $X\setminus Y$ $P$ $y$ $Y \setminus X$ $P$ $x$ $y$ $X \cap Y$ $M_\cap$ $P$ $x$ olan , yol da uzunluğa sahiptir ve bir alternatif yol, çünkü ilk ya da son kenar ait . Bu nedenle, stoktaki ya ya da tanımı ile çelişir ve iddianın. $y$ $A$ $P$ $M_\cap$ $M_\cap$ $x$ $y$

Let ve açıktır

M_{X} = (P_{X} \cap M_{\cup}) \cup ((C ∖ P_{X}) \cap M_{\cap})

$M_X = (\mathcal{P}_X \cap M_\cup) \cup ( (\mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X) \cap M_\cap)$

M_{Y} = (P_{X} \cap M_{\cap}) \cup ((C ∖ P_{X}) \cap M_{\cup}) .

$M_Y = (\mathcal{P}_X \cap M_\cap) \cup ( (\mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X) \cap M_\cup).$

M_{X} \cup M_{Y} = M_{\cap} \cup M_{\cup}

$M_X \cup M_Y = M_\cap\cup M_\cup$ ve

. Teoremi kanıtlamak için,

sırasıyla

için geçerli eşleşmeler olduğunu göstermeye devam etmektedir.

için geçerli bir eşleşme olduğunu görmek için önce

tepe noktasının

ile eşleşmediğini gözlemleyin

M_{X} \cap M_{Y} = M_{\cap} \cap M_{\cup}

$M_X \cap M_Y = M_\cap \cap M_\cup$

M_{X}

$M_X$

M_{Y}

$M_Y$

G [X \cup B]

$G[X\cup B]$

G [Y \cup B]

$G[Y\cup B]$

M_{X}

$M_X$

G [X \cup B]

$G[X\cup B]$

Y ∖ X

$Y \setminus X$

çünkü

kesişmez

istem 1 tarafından ve

kesişmez

tanımı aracılığıyla tanımlanabilir. Bu nedenle,

yalnızca

köşelerini kullanır. İkinci her köşe gözlemleyin

en az bir kenarı ile eşleştirilir

, çünkü aksi takdirde

ya iki kenarı ait

veya iki kenarı

tanımı ters. Bu,

M_{X}

$M_X$

P_{X}

$\mathcal{P}_X$

Y ∖ X

$Y \setminus X$

M_{\cap}

$M_\cap$

Y ∖ X

$Y \setminus X$

M_{X}

$M_X$

X \cup B

$X \cup B$

x \in X

$x\in X$

M_{X}

$M_X$

x

$x$

M_{\cup}

$M_\cup$

M_{\cap}

$M_\cap$

M_{X}

$M_X$

için geçerli bir

;

için geçerli bir eşleşme olduğunu gösteren benzerdir.

G [X \cup B]

$G[X\cup B]$

M_{Y}

$M_Y$

G [Y \cup B]

$G[Y\cup B]$

— George Octavian Rabanca
kaynak

M_{X}

$M_X$

M_{Y}

$M_Y$

M_{Y}

$M_Y$

C^{'} ≐ C ∖ P_{X} ∖ P_{Y}

$\mathcal{C'} \doteq \mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X \setminus \mathcal{P}_Y$

X Δ Y

$X \Delta Y$

M_{X} = (P_{X} \cap M_{\cup}) \cup (P_{Y} \cap M_{\cap}) \cup (C^{'} \cap M_{\cap})

$M_X = (\mathcal{P}_X \cap M_\cup) \cup (\mathcal{P}_Y \cap M_\cap) \cup (\mathcal{C'} \cap M_\cap)$

M_{Y}

$M_Y$

X

$X$

Y

$Y$

M_{\cap}

$M_\cap$

M_{\cup}

$M_\cup$