P'den NP'ye zor ve tekrar tekrar parametreli karmaşıklık

Bir numara tarafından parametrik sorunların örnekler arıyorum $k \in \mathbb{N}$ Sorunun sertlik olduğunu, monoton olmayan içinde $k$ . (Benim de) sorunların çoğu, örneğin tek bir faz geçişi, sahip $k$ tek bir faz geçişi olan -SAT $k \in \{1,2\}$ (sorun P olduğu) $k \ge 3$ sorunu (burada NP tamamlamak, tam, eksiksiz). K arttıkça her iki yönde de faz geçişlerinin olduğu (kolaydan zor ve tam tersi) sorunlara ilgi duyuyorum .$k$

Benim sorum, Hesaplamalı Karmaşıklıkta Sertlik Sıçramalarına sorulan soruya biraz benziyor ve aslında bazı cevaplar sorumla ilgili.

Farkında olduğum örnekler:

1. $k$Düzlemsel grafiklerin k- renklendirilebilirliği:$k=3$ olduğu veP'nintamamlandığı NPhariç.
2. $k$ klemensli diner ağacı : $k=2$ (en kısa $s$ - $t$ yoluna daraltılır ) ve $k=n$ (MST'ye daraltılır), ancak "arasında" NP-sert olduğunda P cinsinden. Bu faz geçişlerinin keskin olup olmadığını bilmiyorum (örneğin, için P $k_0$, için NP-zor $k_0+1$). Ayrıca, geçişleri $k$diğer örneklerimden farklı olarak giriş örneğinin boyutuna bağlıdır.
3. Düzlemsel bir formül modülo tatmin edici atamaları sayma $n$ : P olarak zaman $n$ , bir Mersenne olan asal sayı $n=2^k-1$ ve # p tamamlama için (?) En / diğer tüm değerler $n$ (Aaron Sterling gelen bu iplik ) . Faz geçişleri çok!
4. Nedenli alt yazı tespiti: Sorun bir tamsayı değil bir grafik tarafından parametrelenir. Grafikleri var biri (ki burada ⊆ olmadığını belirlemek için de alt grafiğinin göre belirli bir tür anlamına gelir) , H ı ⊆ G , belirli bir grafik için G için P olan i ∈ { 1 , 3 } ancak NP i = 2 için tamamlandı . ( aynı konudaki Hsien-Chih Chang'den ).$H_1 \subseteq H_2 \subseteq H_3$$\subseteq$$H_i \subseteq G$$G$$i\in \{1,3\}$$i=2$

Çok sayıda monotonik olmayan problem karmaşıklığı olan bir alan, özellik testidir. tüm n- vertex grafikleri kümesi olsun ve P ⊆ G n ' de graph özelliğini çağır . Genel bir sorun, bir grafiktir olmadığını belirlemektir G özelliği vardır P (yani G ∈ P ) ya da 'kadar' özelliği olan ila P bir anlamda. Ne bağlı olarak P ve grafikte zorunda sorgu erişimi ne tür sorun oldukça zor olabilir.$\mathcal{G}_n$$n$$P \subseteq \mathcal{G}_n$$G$$P$$G \in P$$P$$P$

Ancak sorunun monoton olmadığını görmek kolaydır, çünkü sahip olursak , P'nin kolayca test edilebilir olması, S'nin kolayca test edilebilir olduğunu veya T olduğunu göstermez. $S \subset P \subset T$$P$$S$$T$

Bunu görmek için, ve P = ∅ değerlerinin ikisinin de test edilebilir olduğunu gözlemlemek yeterlidir , ancak bazı özellikler için güçlü alt sınırlar bulunduğunu gözlemlemek yeterlidir .$P = \mathcal{G}_n$$P = \emptyset$

Belirli bir grafik için ve bir tam sayı k ≥ 1 , k ve inci güç G ile gösterilen, G , k , iki ayrı noktalar bitişik olacak şekilde aynen köşe sahip G k olarak aralarındaki mesafe ise G en çok olduğu k . K ve inci güç bölünmüş grafik belirli bir grafiktir ise sorunu sorar k bölünmüş bir grafiğin inci gücü.$G$$k\ge 1$$k$$G$$G^k$$G^k$$G$$k$$k$$k$

• İçin , doğrusal zamanda çözülebilir bir sorundur. Bunun nedeni, ayrık grafikleri tanımanın doğrusal zamanda yapılabilmesidir (iyi bilinmektedir).$k=1$
• İçin , sorun NP-tamamlandı. Bunun Lau ve Corneil tarafından uygun aralık, split ve kord grafiğinin güçlerini tanımadaki kanıtladığı , SIAM J. Discrete Math., 18 (2004), 83-102 .$k=2$
• İçin , sorun oldukça basittir: sadece tam grafiklerdir k bölünmüş bir grafiğin inci güçler.$k\ge 3$$k$

Bu tür problemlerden biri, parametrenin - maksimum grafiğin derecesi olduğu düzlemsel grafiklerin kenar renklendirilmesidir . Tüm Δ = 2 veya Δ ⩾ 7 (bunun için polinom tam algoritmaları bilinmektedir var burada bakınız için ise), 3 ⩽ Δ ⩽ 6 bu algoritmalar bilinmemektedir ve bu durumlar için NP sertlik deliller vardır.$\Delta$$\Delta=2$$\Delta\geqslant 7$$3\leqslant\Delta\leqslant 6$

İlgili soru burada tartışılmaktadır .

grafiğinin aşağıdakiler için baskın bir kıskacı olup olmadığını belirleme :$G$

• önemsizdir - cevap her zaman 'evet'$diam(G)=1$
• NP tamamlandı$diam(G)=2$
• NP tamamlandı$diam(G)=3$
• önemsiz - cevap her zaman 'hayır'$diam(G)\ge 4$

Örnek kaynaklanmaktadır Brandstädt ve Kratsch ve vaka d ı bir m ( G ) = 2 not edilir benim yeni kağıt .$diam(G)=3$$diam(G)=2$

Bu, aradığınız olguya bir örnek mi?

K'nin aradığı klibin büyüklüğü olduğu k-Clique problemini düşünün. Öyleyse, sorun "G köşesinde n grafikte bir k büyüklüğü var mı?"

Tüm sabitler k, sorun (kaba kuvvet algoritma zaman çalışır P. olan n / 2 gibi, örneğin değerleri için, bu NP tamamlandıktan k büyük değerleri için).. K sabit c için nc gibi n'ye çok yaklaştığında, problem tekrar P cinsindendir, çünkü nc büyüklüğündeki tüm n köşe alt kümelerini arayabilir ve herhangi birinin bir klik oluşturup oluşturmadığını kontrol edebiliriz. (Sadece O ( n c ) c sabit olduğu zaman polinom olarak büyük olan bu altkümeler vardır.)$O(n^k)$$O(n^c)$

İşte aradığınız tipte bir örnek. Parametre bir tam sayı değil, bir çift sayı. (Bunlardan biri bir parametre problemi haline getirmek için sabit olsa da)

Problem G grafiğinin Tutte polinomunu koordinatlarda (x, y) değerlendirmektir. Koordinatları tamsayı olarak kısıtlayabiliriz. Sorun (x, y), (1, 1), (-1, -1), (0, -1), (-1,0) noktalarından biriyse ya da (x-1 'e uyuyorsa) P’dir. ), (y-1) 1 =. Aksi takdirde # P-hard olur.

Bunu Wikipedia'nın Tutte polinomuyla ilgili makalesinden aldım .

Bir matris modulo kalıcılığını hesaplama sorusu ne durumda ? İçin k = 2 bu "içinde ((kalıcı = belirleyici beri) kolay ve Valiant kalıcı hesaplama karmaşıklığı$k$$k=2$ ") bu modulo hesaplanabilir gösterdi zamanlı O ( n, 4 D - 3 ) için d ≥ 2 ile Gauss ortadan kaldırılmasının değiştirilmiş bir varyantı. Ancak 2'nin gücü olmayan k için UP-Hard'dur. $2^d$$O(n^{4d-3})$$d \geq 2$$k$$2$

Bu fenomenin bir diğer problemi split grafiklerdeki MINIMUM -SPANNER problemidir.$t$

Sabit için , bir t -spanner bağlı bir grafik G bağlı yayılan alt grafiğinin olan , H ve G , öyle ki noktalar her çifti için , x ve $t$$t$$G$$H$$G$$x$$y$ arasındaki mesafe ve y de , H en çok olan t zamanlarında aralarındaki mesafe G . MINIMUM t -SPANNER problemi, verilen grafiğin minimum kenar sayısına sahip olan bir t- spanner'ı ister .$x$$y$$H$$t$$G$$t$$t$

Bir bölme grafik olan tepe grubu bir klik ve bağımsız seti içine bölümlenmiş bir grafiktir.

Olarak , bu kağıt , her birinin ise bölünmüş grafikler EN AZ 2-SPANNER NP-zor olduğu gösterilmiştir , MİNİMUM t -SPANNER bölünmüş grafikler kolaydır.$t \ge 3$$t$

İyi bilinen bir örnek kenar boyamadır.$k$

Bu polinom zamanda Karar verilebilen ise aksi takdirde ise N P -tamamlamak .$k \ne \Delta$$NP$

Kübik grafikler için kenar renklendiriciliğinin varlığına karar vermek:

• Cevap her zaman hayır olduğundan k = 2 renk önemsizdir.$k=2$
• renkler , N p -Komple$k=3$$NP$
• renk önemsizdir çünkü cevap her zaman evetdir.$k \ge 4$

Holyer, Ian (1981), "Kenar renklendirmenin NP bütünlüğü", SIAM Computing Journal 10: 718-720

http://en.wikipedia.org/wiki/Edge_coloring

Bu, P $\to$ NP-hard $\to$ P $\to$ NP-hard için ilginç (ve şaşırtıcı) bir örnektir$\to \cdots$ faz geçişi:

Üzerinde tam bir grafik olmadığına karar verme $n$ her köşe tüm diğer köşe sıkı bir sıralama sahip olduğu köşeler, popüler bir eşleştirme itiraf garip için P içindedir $n$ ve hatta için NP-zor $n$ . (Parametre köşe sayıdır $n$ .)

Kanıt olarak açıklandı bu makalede .

Kenar renginde bir grafikteki yol, üzerinde iki renk görünmüyorsa gökkuşağıdır . Her bir köşe çifti arasında bir gökkuşağı yolu varsa, bir grafik gökkuşağı rengindedir . RAINBOW- RENKLİLİK, belirli bir grafiğin k kullanarak gökkuşağı renginde olup olmadığına karar verme sorunu olmasına izin verin.$k$$k$ renkleri .

Herhangi bir grafiğin için , sorun kolaydır k = 1 ise bu kontrol eşittir olarak G, tam bir grafiktir. İçin bölünmüş grafikler , bir sorundur , N p -Komple k ∈ { 2 , 3 } , ve P , tüm diğer değerleri için , k .$G$$k=1$$G$$\sf NP$$k \in \{2,3\}$$\sf P$$k$

Bkz Chandran, L. Sunil Deepak Rajendraprasad ve Marek TESAR. "Bölünmüş Grafiğin Gökkuşağı Renklendirmesi." arXiv ön baskı arXiv: 1404.4478 (2014).

Bir alt , bir grafik G a, kesilmiş cutset ise G [ U ] ve G - u kesilir.$U\subseteq V(G)$$G$$G[U]$$G-U$

1 çapındaki bir grafiğin bağlantısı kesilmiş bir kesime sahip olup olmadığına karar vermek önemsizdir. Problem, NP çapındaki grafiklerde 2. kağıdı görüyor ve bu kağıdı görüyor ve yine çap grafiklerinde en az 3 bu kağıdı görüyoruz .