Sonlu otomata üzerinde iyi tanımlanmış bir bölüm operasyonu var mı?

15

Arka fon:

İki deterministik sonlu otomata A ve B verildiğinde, C'deki durumların A'daki durumların ve B'deki durumların kartezyen ürünü olmasını sağlayarak C ürününü oluştururuz. Sonra, geçişleri, başlangıç durumunu ve son durumları seçeriz, böylece dil tarafından kabul edilir C, A ve B dillerinin kesişimidir.

Sorular:

(1) A'yı bulmak için C'yi B'ye "bölebilir miyiz?" A eşsizdir, izomorfizme kadar mı? Burada ve altındaki dillere değil, devlet diyagramlarına önem veriyoruz. Böylece, durum sayısını azaltmak için durum diyagramlarının sıkıştırılmasına izin vermiyoruz.

(2) A benzersizse, onu bulmak için etkili bir algoritma var mı?

(3) Her deterministik sonlu otomatın "primer" lere benzersiz bir çarpanlara ayırımı vardır. Buradaki en önemli faktör, çarpanlaştırılamayan, yani 2 küçük otomatanın bir ürünü olarak yazılan bir otomat anlamına gelir.

@MichaelWehar ile çalışın

fl.formal-languages automata-theory dfa

— Whosyourjay
kaynak

5

Klasik ayrışma Krohn-Rodos teorisidir - bakılacak çok şey var.

2

Brzozowski türevlerini düşünün. en.wikipedia.org/wiki/Brzozowski_derivative

— Vijay D

2

@halfTrucker Krohn-Rhodes teorisi çelenk ürünü ile ilgilenir. OP Kartezyen ürün hakkında soru soruyor.

— scaaahu

2

Teşekkürler @halfTrucker, bu gerçekten ilginç! Scaaahu'nun dediği gibi, kartezyen ürün arıyorum, ancak referansınız hala harika.

— Whosyourjay

8

Otomatlardaki kompozisyonu inceleyen bu MFCS 2013 çalışmasına bir göz atın . Belki de yardımcı olacaktır.

— Shaull
kaynak

2

Bağlantı için +1. Makalenin tartışmasından alıntı , Genel dava hala açık olsa da, makale sadece permütasyon otomata vakasını araştırıyor gibi görünüyor. Genel vakalar için daha yeni bir gelişme var mı? Kartezyen ürün anlamında mı yani? (Krohn-Rhodes teorisi çelenk ürünü ile ilgilenir) Teşekkürler.

— scaaahu

3

Son gelişmelerden haberdar değilim. Size bu makaleyi doğrudan takip eden bir çalışma olmadığını söyleyebilirim. Ancak bu, sorunun gerçekten kolay olmadığının bir göstergesi olabilir.

— 16'da

4

$\mathcal A_i = (Q_i, \delta_i, q_{0i}, F_i), i = 1,2$ $\mathcal A = \mathcal A_1 \times \mathcal A_2$

π_{1} ((q, q^{'})) : = q

$\pi_1( (q, q') ) := q$

A_{2}

$\mathcal A_2$

Q_{1} = π (Q_{1} \times Q_{2})

$Q_1 = \pi(Q_1\times Q_2)$

δ_{1} (q, x)

$\delta_1(q,x)$

q^{'} \in Q_{2}

$q' \in Q_2$

π ((δ_{1} (q, x), δ_{2} (q^{'}, x)) = δ_{1} (q, x)

$\pi((\delta_1(q,x), \delta_2(q', x)) = \delta_1(q,x)$

A_{1}

$\mathcal A_1$

Dolayısıyla, bir otomatın kartezyen (veya harici) bir ürün otomatı olduğunu bilersek, faktörleri kolayca kurtarabiliriz.

Ama sanırım bu, diğer sorularınız için aklınızdaki şey değil. Burada iki soru ortaya çıkıyor (aşağıda otomasyon izomorfizmasıyla, devlet grafiği olarak izomorfik, yani, dilin burada çok fazla endişe duymadığını söylediğiniz gibi, başlangıç veya nihai durumlara saygısız demek istiyorum):

{bir}_{1} x ... x {bir}_{k} ≅ B_{1} x ... x B_{l}

$\mathcal A_1 \times \ldots \times \mathcal A_k \cong \mathcal B_1 \times \ldots \times \mathcal B_l$

A_{i}, B_{j}

$\mathcal A_i, \mathcal B_j$

k = l

$k = l$

A_{i} ≅ B_{π (i)}

$\mathcal A_i \cong \mathcal B_{\pi(i)}$

π : {1, \dots k} \to {1, \dots k}

$\pi : \{1,\ldots k \}\to \{1,\ldots k \}$

$\mathcal A, \mathcal B$ $\mathcal C$ $\mathcal A = \mathcal B \times \mathcal C$

Durumun böyle olması için gerekli koşulları elde etmek kolaydır, ancak bazı otomatların bir diğerinin faktörü olması için yeterince kolay kriter görmüyorum.

π_{1} ((δ_{1} (q, x), δ_{2} (q^{'}, x)) = δ_{1} (q, x) = δ_{1} (π_{1} (q, q^{'}), x)

$\pi_1( (\delta_1(q, x), \delta_2(q', x)) = \delta_1(q,x) = \delta_1(\pi_1(q,q'), x)$

q \in Q_{1}, q^{'} \in Q_{2}

$q \in Q_1, q' \in Q_2$

π

$\pi$

A_{1} \times A_{2}

$\mathcal A_1 \times \mathcal A_2$

A_{2}

$\mathcal A_2$

$\mathcal A$ $\mathcal B$ $\mathcal B$ $\mathcal A$

$\mathcal B$ $\mathcal A$

$M$ $N$ $M$ $N$

H. Straubing, P. Weil Sonlu otomata giriş ve mantıkla bağlantısı,

Çok bilgi içeren kurs web sitesi .

Not : Başka bir " bölümleme " kavramı da vardır , bkz. Wikipedia: bölüm otomatı , ancak bu sadece durumların çöküşü için bir kuraldır ve öğrenme / dil çıkarım algoritmalarında veya durum minimizasyonunda kullanılır.

— StefanH
kaynak