NFA evrensellik koşulları

Belirsiz bir sonlu otomata ve bir işlevi . Ek olarak .$A = (Q, \Sigma, \delta, q_0, F)$$f(n)$$\Sigma^{\leq k} = \bigcup_{i \leq k} \Sigma^i$

Şimdi aşağıdaki ifadeyi analiz edelim:

Eğer , daha sonra .$\Sigma^{\leq f(|Q|)} \subseteq L(A)$$L(A) = \Sigma^*$

Bunu yapmak kolaydır, için doğrudur, bu nedenle eğer otomatlar uzunluğa kadar her kelimeyi üretiyorsa , o zaman üretir .$f(n) = 2^n+1$$2^{|Q|}+1$$\Sigma^*$

Fakat eğer bir polinom ise hala geçerli mi?$f$

Değilse, ne olabilir bir NFA bir inşaat verilen bir polinom için gibi bakmak, st ?$A$$p$$\Sigma^{\leq p(|Q|)} \subseteq L(A) \subsetneq \Sigma^*$

Muhafazasına açıklamada için, f bile tek terimli alfabesi ile katlanarak büyüyecek gerekir.

[Düzenleme: Analiz revizyon 2'de biraz geliştirildi.]

İşte kanıt bir kroki. İfadesi tutan varsayalım ve izin f her NFA en fazla olan bir işlev böyle olması n en fazla uzunluğu olan tüm dizeleri kabul ettiğini devletler f ( n ) tüm dizeleri olursa olsun kabul eder. Her için ispat edecektir C > 0 ve yeterince büyük n , elimizdeki f ( n )> 2 ^{C ⋅√ n} .

Asal sayı teoremi her için anlamına gelir , c <lg E ve yeterince büyük için k , en azından vardır c ⋅2 ^k / k [2 aralığında asal ^k 2, ^{k + 1} ]. C = 1 alıyoruz . Bu tür için k , izin N _k = ⌈2 ^k / k ⌉ ve NFA tanımlamak M _k aşağıdaki gibi. Let p ₁ , ..., p _{, N K} aralığındaki farklı asal olmak [2 ^k , 2 ^{k + 1}]. NFA M _k , S _k = 1 + p ₁ +… + p _{N k} durumlarına sahiptir. Yanı sıra, başlangıç durumundan, devletler halinde bölünür , N _k döngü i inci döngüsü uzunluğu vardır p _i . Her döngüde, bir devlet dışındaki herkes kabul edilen hallerdir. İlk durum vardır , N _k hemen her çevrimde reddedilen devlet sonra durumuna geçer, her biri giden kenarları. Son olarak, başlangıçtaki durum da kabul edilir.

Let P _k ürünü p ₁ ... p _{N k} . Kadar görmek kolaydır M _k az uzunluktaki tüm dizeleri kabul eder P _k ama uzunluğu dizesini reddeder P _k . Bu nedenle, f ( S _k ) ≥ P _k .

Not bu S _k ≤ 1 + K _k ⋅2 ^{k + 1} = o (2 ^{2 k} ) ve p _k ≥ (2 ^k ) ^{K _k} ≥ 2 ^{2 k} . Gerisi standart.

10/12/06 AT EDIT:

Tamam, bu hemen hemen alabileceğim en iyi yapı, bakalım daha iyi fikirler ortaya çıkmış mı?

Teorem. Her biri için Orada bir olan -durum NFA alfabe üzerinde ile , örneğin en kısa dizisi değil uzunluğu olan .( 5 n + 12 ) M Σ | Σ | = 5 L ( M ) ( 2 n - 1 ) ( n + 1 ) + $n$$(5n+12)$$M$$\Sigma$$|\Sigma|=5$$L(M)$$(2^n-1)(n+1)+1$

Bu bize verecektir .$f(n) = \Omega(2^{n/5})$

Yapım, Shallit'teki ile hemen hemen aynıdır , ancak önce dili düzenli bir ifadeyle temsil etmek yerine doğrudan bir NFA kurduk . let

$\Sigma = \{{0 \brack 0},{0 \brack 1},{1 \brack 0},{1 \brack 1},\sharp\}$ .

Her , aşağıdaki sıraya sahip olan , dilini tanıyan bir NFA , burada , aşağıdaki ( örneğin, alın):$n$$\Sigma^*-\{s_n\}$$s_n$$n=3$

$s_3 = \sharp{0 \brack 0}{0 \brack 0}{0 \brack 1}\sharp{0 \brack 0}{0 \brack 1}{1 \brack 0}\sharp \ldots \sharp{1 \brack 1}{1 \brack 1}{0 \brack 1}\sharp$ .

Fikir bir NFA inşa edebileceğimiz beş bölümden oluşur;

• dizenin ile başlamasını sağlayan bir başlangıç ;$\sharp{0 \brack 0}{0 \brack 0}{0 \brack 1}\sharp$
• dizenin ile bitmesini sağlayan bir sonlandırıcı ;$\sharp{1 \brack 1}{1 \brack 1}{0 \brack 1}\sharp$
• iki arasındaki sembol sayısını olarak tutan bir sayaç ;$\sharp$$n$
• yalnızca formundaki sembollerin görünmesini garanti eden bir eklenti denetleyicisi ; en sonunda,$\sharp{x \atop x+1}\sharp$
• Yalnızca biçimindeki sembollerin aynı anda görünebileceğini garanti eden tutarlı bir denetleyici$\sharp{x \atop y}\sharp{y \atop z}\sharp$

Unutmayın ki yerine kabul etmek istiyoruz , bu nedenle giriş sırasının yukarıdaki davranışlardan birine itaatsizlik ettiğini , sırayı derhal kabul ediyoruz. Aksi haldeadımlar, NFA tek olası reddetme durumunda olacaktır. Ve sıra den, NFA da kabul eder. Bu nedenle, herhangi bir NFA, yukarıda belirtilen beş şartı yerine getirdiğinde, yalnızca reddedecektir .$\Sigma^*-\{s_n\}$$\{s_n\}$$|s_n|$$|s_n|$$s_n$

Kesin bir kanıt yerine aşağıdaki rakamı doğrudan kontrol etmek kolay olabilir:

Sol üst durumda başlıyoruz. İlk bölüm başlangıçtır ve sayaç, daha sonra tutarlı kontrolcü, sonlandırıcı, nihayetinde ilave kontrolcüdür. Terminal düğümleri olmayan tüm yaylar, tüm zaman alıcıları olan sağ alt durumu gösterir. Kenarların bir kısmı boşluk eksikliği nedeniyle etiketlenmemiştir, ancak kolayca kurtarılabilir. Bir çizgi çizgisi , kenarlı bir durum dizisini temsil eder .$n-1$$n-2$

NFA'nın sadece reddettiğini (acı ile) doğrulayabiliriz , çünkü yukarıdaki beş kuralı izler. Böylece teorem şartını yerine getiren -state NFA ile inşa edildi.$s_n$$(5n+12)$$|\Sigma|=5$

İnşaatla ilgili herhangi bir belirsizlik / sorun varsa, lütfen bir yorum bırakın; açıklamaya / düzeltmeye çalışacağım.

Bu soru ile incelenmiştir Jeffrey O. Shallit . Gerçekten optimal değeri ve diğerleri, ve hala açıktır . (Unary dil gelince, Tsuyoshi'nin cevabındaki yorumları görün )$f(n)$$|\Sigma|>1$

Evrensellik konusundaki konuşmasının 46-51. Sayfasında , şöyle bir yapı sağladı:

Teorem. İçin bazıları için , yeterince büyük bir yoktur -durum NFA ikili alfabe üzerinde bu tür en kısa dizisi değil uzunluğu olan için .$n\geq N$$N$$n$$M$$L(M)$$\Omega(2^{cn})$$c=1/75$

Böylece için en uygun değer ve arasında bir yerdedir . Shallit'in sonucunun son yıllarda iyileştirilip geliştirilmediğinden emin değilim.$f(n)$$2^{n/75}$$2^n$