“Farklı hipergraf renklendirme” - bilinen problem?

Aşağıdaki sorunla ilgileniyorum: Bir X kümesi ve X_1, ..., X_n alt kümeleri verildiğinde, X öğelerinin k renkleriyle renklendirilmesini bulun, böylece her X_i'deki öğeler farklı renktedir. Daha spesifik olarak, tüm X_i'nin k boyutunda olduğu duruma bakıyorum. Bu literatürde bir isim altında biliniyor mu? Renklendirilebilir örneklerin karakteristiklerini ve karmaşıklık ile ilgili sonuçları arıyorum (P ve NP-sert). Örneğin, k = 2 için, renklendirilebilir örnekler bipartit grafiklere karşılık gelir ve bu nedenle problem polinom zamanında çözülebilir.

Bunun literatürde k-muntazam bir hipergraf için güçlü bir k-renk bulma sorunu olarak bilindiğine inanıyorum. Bu, başlamak için iyi bir yer olmalıdır: [PDF] .

Aynı zamanda en çok serttir, bir G = ( X , E ) grafiğini renklendirir , burada E , her X i'yi bir klipe dönüştürerek oluşturulur . Tüm X i'nin k boyutunda olduğu kısıtlamanız , G'nin her kenarını k köşelerinde bir klik ile kaplayabileceğiniz anlamına gelir .$k$$G=(X,E)$$E$$X_i$$X_i$$k$$G$$k$

En az kadar - keyfi bir grafik G = ( V , E ) renklendirmek . Her kenar için e = { u , v } bir alt kümeniz var X e = { u , v , x ( e , 3 ) , x ( e , 4 ) , … , x ( e , k ) } ; burada her bir x ( $k$$G = (V,E)$$e = \{u,v\}$$X_e = \{ u, v, x(e,3), x(e,4), \dotsc, x(e,k) \}$ başka bir alt kümede bulunmayan bir yapay elemandır. Eğer Eğer k -Renk G , kolayca bir sistem (sadece iştahla kukla elemanları renk) renklendirme ve tersi bulabilirsiniz.$x(e,j)$$k$$G$

Her hiperromun polikromatik (veya gökkuşağı ) olduğu bir renklendirme de güçlü bir renklendirme olarak bilinir .

Bir hipergrafın güçlü bir renklendirmesinin, tam olarak hipergrafın Gaifman grafiğinin uygun bir renklendirmesi olduğunu unutmayın. (Bir hipergrafın Gaifman grafiği (veya primal grafik veya 2 kesit ), bir miktar hipergege içinde birlikte görünen iki köşe arasına kenarlar eklenerek oluşturulur.)

Eğer bir arıyorsanız Yani bir bir -colouring r -uniform hypergraph H , o zaman eşdeğer bir bakabilir k ait Gaifman grafiğinin -colouring H . R = 2 durumu , k = 2 için polinom zamanı ve k ≥ 3 için NP-tam olan grafik renklendirmesine karşılık gelir . Açıkçası r < 2 önemsizdir, k < r hiçbir çözüme yol açmaz ve diğer vakaların tümü NP-tamdır.$k$$r$$H$$k$$H$$r=2$$k=2$$k\ge 3$$r <2$$k\lt r$

Yukarıdaki tanımların çoğuna sahip faydalı bir referans, Vitaly I. Voloshin, Renklendirilmiş Hipergrafları Boyama: Teori, Algoritmalar ve Uygulamalar , Fields Enstitüsü Monografları 17 , AMS, 2002, ISBN 0-8218-2812-6. Bu kitap, özellikle iki tür renkli kenarı birleştirmeye odaklanan daha genel zayıf renklendirme durumunu kapsar: Ortak renkte en az iki köşesi olan kenarları ve farklı en az iki köşesi olan D kenarları renkler.$C$$D$