Bir süper lineer devrenin bağlandığı bilinen en küçük karmaşıklık sınıfı nedir?

Kesinlikle çok sayıda standart referansta olması gereken bir soru sormak için özür dilerim. Başlıktaki soruyu tam olarak merak ediyorum, özellikle Boolean devreleri düşünüyorum, derinliği bağlı değil. "En küçük" ifadesini, bir üst çizginin bağlı olduğu bilinen, birbirini içermediği bilinen, birden fazla farklı sınıfın bulunma ihtimaline izin vermek için koyarım.

Bilinen en küçük sınıfların (Cai, 2001), (Vinodchandran, 2005) ve (Santhanam, 2007) . Bunların hepsinin , her bir sabit için olmadıkları bilinmektedir .P P ( M A ∩ C o M A ) / 1 S I , Z D ( n- k ) $S_2P$$PP$$(MA \cap coMA)/1$$SIZE(n^k)$$k$

Ben farkındayım güçlü sonuç tüm k için bir sorun olmasıdır $S_2^P$ boyutu devreleri gerektirir $\Omega(n^k)$ .

içinde ihtiva edilen bir sınıftır , Z P P , N , P kendisi içinde ihtiva edilmektedir, Σ p 2 ∩ tt P 2 . (Karmaşıklık hayvanat bahçesibu sınıf hakkında daha fazla bilgiye sahiptir.)$S_2^P$$ZPP^{NP}$$\Sigma_2^P \cap \Pi_2^P$

Sonuç nedeniyle Karp-Lipton teoremi en güçlü sürümünden takip Cai .

Bunun KL teoreminden nasıl geldiğinin kısa bir kanıtı: İlk olarak, eğer SAT süper polinom büyüklüğünde devrelere ihtiyaç duyuyorsa, süper polinom büyüklüğünde devrelere ihtiyaç duyan bir problem ortaya çıkardığımız için yaptık . Eğer SAT polinom büyüklüğünde devrelere sahipse, o zaman Karp-Lipton teoreminin en güçlü versiyonuyla, PH S P 2 'ye çöküyor . PH'nın bu tür problemler içerdiğini biliyoruz (Kannan'ın sonucuna göre) ve dolayısıyla S P 2 böyle bir problem içeriyor.$S_2^P$$S_2^P$$S_2^P$

Genel devreler için, boyutunda circu ( n k ) devre gerektiren sorunların olduğunu biliyoruz, bunun sebebi Ravi Kannan (1981) ve P H'nin bu gibi problemleri içerdiği sonucuna dayanıyor. .$\Sigma^p_2 \cap \Pi^p_2$$\Omega(n^k)$$PH$

için en iyi alt sınırların hala 5 n civarında olduğunu düşünüyorum .$NP$$5n$

Bkz Arora ve Barak'ın kitabı, sayfa 297. Richard J. Lipton vardı bir yazı üzerine blogunda ayrıca bkz, bu sonuçlar hakkında bu bir .

cevabını hassaslaştırmak için , her k ≥ 1 ve c için , ya * 3-SAT arama probleminde ˜ O ( n k ) devreleri yoktur veya * O 2 P’de zaman içindeki bazı problemler (ve tanık büyüklüğü) sınırlı ~ O ( n, k 2 ) io bulunmamaktadır O ( n, k ( log n ) c ) (sonsuz genellikle vasıtasıyla io) devreleri.$\mathrm{S}_2\mathrm{P}$$k≥1$$c$
$\tilde{O}(n^k)$
$\mathrm{O}_2\mathrm{P}$$\tilde{O}(n^{k^2})$$O(n^k (\log n)^c)$

3-SAT arama probleminin yerine, karar problemini kullandık, zaman ˜ O ( n k 2 + k ) yeterli olur ve karar problemini bit i için 3-SAT için sözlüksel olarak minimum atamada kullanırsak , ~ O ( n, en az ( k 2 + k , k, 3 ) ) yeterli olmaktadır.$\mathrm{O}^2\mathrm{P}$$\tilde{O}(n^{k^2+k})$$i$$\tilde{O}(n^{\min(k^2+k,k^3)})$

İo - devreleri ile hesaplanamayan bir karar problemi , n k ⌊ ( log n ) c + olan bir devrenin doğruluk tablosu olmayan en az N'dir (ikili rakamları kullanılarak sorgulanır). 1 ⌋ kapılar. NP, P ise / poli sorun aşağıdakilerden oluşan reddedilemez habersiz tanık var (1) N- (2) verilen bir devre N ' < , N , bu Şekil , N ' , yeterince küçük bir devresi vardır.$O(n^k (\log n)^c)$$N$$n^k ⌊(\log n)^{c+1}⌋$
$N$
$N' < N$$N'$
(3) (sadece bağlı için kullanılır), rakibin devresini (2) sadece O ( 1 ) kez çalıştırmamızı sağlayan bir koşucu (koşu başına 1 bit).$\tilde{O}(n^{k^3})$$O(1)$

Ayrı bir notta, her , (MA ∩ coMA) / 1 de O ( n k ) devreleri olmayan karar problemleri vardır . '/ 1', makinenin yalnızca giriş boyutuna bağlı bir tavsiye alması anlamına gelir. Ayrıca, Merlin'in gönderdiği dize sadece giriş boyutuna bağlı olarak seçilebilir (bu kısıtlama ile MA, O 2 P'nin bir alt kümesidir ) ve tavsiye karmaşıklığı Σ P 2 . Kanıt (Santhanam 2007), IP = PSPACE ve PSPACE⊂P / poly ⇒ PSPACE = MA'yı, iyi niyetli bir PSPACE-complete problemini kullanarak ve girişleri, n k + 1 arasında sonsuz sıklıkta asgari devre boyutları elde etmek için doldurmak suretiyle genelleştirir.$k$$O(n^k)$$\mathrm{O}_2\mathrm{P}$$Σ_2^P$$n^{k+1}$ve , bu n'nin yeterli örneğini tespit etmek için tavsiyeler kullanarak ve bu n için , Merlin'in böyle bir devre üretmesini sağlayarak dolgulu problemi çözmek.$n^{k+2}$$n$$n$