Kişisel olarak çözülebilir zor grafik problemleri

25

Arora, Barak ve Steurer, Eşsiz Oyunlar ve İlgili Sorunlar İçin Eklemsel Algoritmalar'ın son sonuçlarının ışığında, ek süre zarfında algoritmaları olan ancak polinom olarak çözülemeyeceğine inanılan grafik problemleriyle ilgileniyorum. Ünlü bir örnek, çalışma zamanının subexponential algoritmasına sahip grafik izomorfizmidir . Başka bir örnek ise yarı polinom zamanında çözülebilen log-Clique problemidir ( ). $2^{O(n^{1/2} \log n)}$ $n^{O(\log n)}$

İlginç örnekler ve tercihen subexponential hard graph problemlerinin (mutlaka ) anketlerine referans arıyorum . Ayrıca, subexponential zaman algoritmalarıyla komple grafik problemleri var mı? $NP$ $NP$

Impagliazzo, Paturi ve Zane , Üstel Zaman Hipotezinin Clique, k-Colorability ve Vertex Cover'in zamana ihtiyacı olduğunu ima ettiğini gösterdi . $2^{\Omega(n)}$

cc.complexity-theory reference-request

— Muhammed El Türkistan
kaynak

2

Sadece bütünlüğü için: log-CLIQUE =

{(G, k) | G has n vertices, k = \log n and G has a clique of size k}

$\{(G, k) | G \text{ has }n\text{ vertices, }k = \log n\text{ and }G\text{ has a clique of size }k\}$

— MS Dousti

20

Bu arada, Max Clique sorunu, genel olarak, zaman içerisinde giriş boyutudur. $2^{\tilde O(\sqrt N)}$ $N$

Eğer grafik bir bitişiklik matrisi ile temsil ediliyorsa bu önemsizdir, çünkü $N=|V|^2$ ve bir kaba kuvvet arama süresi alacaktır $2^{O(|V|)}$ .

Ancak, grafik çalışma zamanı bir algoritma ile bitişik listelerde gösterilse bile aynı sınırı alabiliriz. $2^{\tilde O(\sqrt{|V| + |E|})}$ . Nasıl olduğunu görmek içinalalım.-Zaman algoritma, bir grafik verilmiştir ki burada NP-tam bir karar sorunu içinveve büyüklüğü bir klik olup olmadığını bilmek isteyen. $2^{\tilde O(\sqrt{|V| + |E|})}$ $G=(V,E)$ $k$ $\geq k$

Algoritması basit bir derece her köşe kaldırır bir alt kümesi üzerinden bir tepe kaynaklı alt grafiği ile bırakılır kadar, bu daha sonra tekrar yapar ve onlara kenarları olay ve köşelerin her derece , veya boş bir grafik ile. İkinci durumda, biz boyutta hiçbir klik biliyoruz bulunabilir. Eski durumda, zaman içinde kabaca çalışan bir kaba kuvvet araştırması yapıyoruz . Unutmayın ve $< k$ $V'$ $\geq k$ $\geq k$ $|V'|^k$ $|E| \geq k\cdot |V'| /2$ , öyle ki ve kaba kuvvet arama vakit kaybetmeden bu yüzden aslında zaman içinde çalıştığı $k\leq |V'|$ $|E| \geq k^2/2$ $|V'|^k$ . $2^{O(\sqrt{|E|} \cdot \log |V|)}$

— Luca Trevisan
kaynak

12

Gerçekten de, nedenlerle bu tür için Impagliazzo, Paturi ve Zane'in hakkında soran iddia

karşı

karmaşıklığı sete gereken

Eğer bir parçası olarak tanımlamak gerekir tanık boyutu (olmasını sorun). Gelen

-clique durumda tanık boyutu olan

2^{Ω (n)}

$2^{\Omega(n)}$

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

n

$n$

k

$k$

küçük

, söylediğiniz gibi wlog'un en az

kenarlar ve giriş boyutu tanık boyutundan çok daha büyük.

\log (\binom{| V |}{k}) \sim k \log | V |

$\log \binom{|V|}{k} \sim k\log |V|$

k

$k$

k | V |

$k|V|$

— Boaz Barak

22

Her düzlemsel grafik yana köşe treewidth sahip $n$ treewidth grafikleri içinzamanındaçözülebilen tüm problemlerinen fazla ~(bu tür problemlerin bir LOT'u vardır) sabit bir faktör hesaplanarak düzlemsel grafikler üzerinde subponent zaman algoritmaları vardır. polinom-zamanında treewidth yaklaşımı (örneğin dal genişliğini ratcatcher algoritması ile hesaplayarak) ve treewidth algoritmasını çalıştırarak şeklindeki çalışma sürelerine neden oldu $O(\sqrt{n})$ $O^*(2^{O(k)})$ $k$ köşelerindegrafikler için. Örnekler, elbette NP tamamlanmış olan Düzlemsel Bağımsız Küme ve Düzlemsel Hakim Küme'dir. $O^*(2^{O(\sqrt{n})})$ $n$

— Bart Jansen
kaynak

15

Üstel üstel zamandaki çözülebilirlik (SUBEPT) ve sabit parametre izlenebilirliği (FPT) arasında yakın bir bağlantı var . Aralarındaki bağlantı aşağıdaki kağıtta verilmiştir.

Özsel ve parametreli karmaşıklık teorisi arasındaki izomorfizm , Yijia Chen ve Martin Grohe, 2006.

Kısacası, parametreleştirilmiş bir problemi başka bir parametreleştirilmiş problemle eşleştiren minyatürleştirme haritalaması denilen bir kavram ortaya . Normal bir problemi girdi büyüklüğüyle parametrelenmiş bir problem olarak görüntüleyerek aşağıdaki bağlantıya sahibiz. (Bkz. Makaledeki teorem 16) $(P,\nu)$ $(Q,\kappa)$

Teorem . SUBEPT IFF olan FPT bulunmaktadır. $(P,\nu)$ $(Q,\kappa)$

Buradaki tanımlara dikkat edin. Normalde görüntülemek içinde parametreli olarak -clique sorunu yüzden Üstel zaman hipotezini varsayarak için herhangi bir alt üstel zaman algoritması vardır. Ancak burada problemin giriş büyüklüğü ile parametrelendirilmesine izin veriyoruz , bu yüzden problem ile çözülebilir. $k$ $k$ $O(m+n)$ bir alt üstel zaman algoritmasıdır. Teorem bize-clique problemininmakul olanparametresinin bükümünde izlenebilir bir parametreolduğunu söyler. $2^{O(\sqrt{m}\log m)}$ $k$ $k$

Genel olarak, SERP azaltmaları altındaki SUBEPT'deki sorunlar (alt üstel azaltma aileleri) FPT'de FPT azaltımları altındaki sorunlara dönüştürülebilir. (Makalede Teorem 20) Üstelik, üstel zaman karmaşıklığı teorisi ile parametreli karmaşıklık teorisi arasındaki problemler hiyerarşisi arasında bir izomorfizm teoremi sağladıklarından, bağlantılar daha da güçlüdür. (Teorem 25 ve 47) İzomorfizm tam olmasa da (aralarında bazı eksik bağlantılar vardır), bu problemler hakkında net bir tabloya sahip olmak hala güzeldir ve alt üstel zaman algoritmalarını parametreleştirilmiş karmaşıklıkla inceleyebiliriz.

Daha fazla bilgi için Jörg Flum ve Martin Grohe'nin karmaşıklık sütununun editörü Jacobo Torán ile birlikte yaptığı ankete bakın .

— Hsien-Chih Chang 張顯之
kaynak

Evet. btw, Flum ve Grohe anketi yazdı; Toran, Karmaşıklık Sütunu editörüdür.

— Andy Drucker,

@Andy: Düzeltme için teşekkürler. Makaleyi buna göre değiştireceğim.

— Hsien-Chih Chang,

12

Başka bir örnek, polis ve zaman NP zor ama çözülebilir olduğu hırsız oyunu olabilir n, noktalar ile grafikler. BibTeX XML Fedor V. Fomin, Petr A. Golovach, Jan Kratochvíl, Nicolas Nisse, Karol Suchan'da bibliyografik kayıt: Bir grafik üzerinde hızlı bir soyguncuyu takip ederek. Theor. Comput. Sci. 411 (7-9): 1167 - 1181 (2010) $2^{o(n)}$

— XXYYXX
kaynak

3

Hata! Bu utanç verici olabilir, ancak

zor sorunlarının üstel zaman algoritmaları olmadığına inanıyordum , üstel Üstel Zaman Hipotezi. :(

N P

$\mathsf{NP}$

— Hsien-Chih Chang

6

Utanılacak bir şey yok ... ama bunun doğru olmadığını görmenin kolay bir yolu herhangi bir

zor dili

ve sonra bir 'yastıklı' versiyon

oluşturmaktır. 'yes' örnekleri, bazı sabit

için

ile

formundadır . Daha sonra

bir

N P

$NP$

L \in N P T I M E (n^{k})

$L \in NPTIME(n^k)$

L^{'}

$L'$

(x, 1^{| x |^{c}})

$(x, 1^{|x|^c})$

x \in L

$x \in L$

c > k

$c > k$

L^{'}

$L'$

N P

$NP$ Ama esas olarak zaman içinde çalışan bir belirleyici algoritması

.

2^{n^{k / c}}

$2^{n^{k/c}}$

— Andy Drucker,

7

Kliği için en iyi yaklaşım algoritması bir inanılmaz kötü yaklaşım faktör verir (yaklaştırılması faktörü olduğunu hatırlama önemsiz). $n/\text{polylog } n$ $n$

Buna tam olarak uymayan, ancak yine de sertliği veren çeşitli sertlik varsayımları altında yaklaşık sonuçların sertliği vardır . Şahsen klik için yaklaşımının polinom-zaman algoritmalarının yapabileceği kadar iyi olduğuna inanıyorum . $n^{1-o(1)}$ $n/\text{polylog } n$

Fakat klik için yaklaştırılması yarı-polinom sürede kolayca yapılabilir. $n/\text{polylog } n$

$2^{\Omega(n)}$ $2^{\Omega(N^\epsilon)}$ $N=n^{1/\epsilon}$ $\epsilon$

— Dana Moshkovitz
kaynak