Biçerdöverlerin eksik temeli

Bu esinlenerek bu soruya. , sadece iki bağlı değişkeni olan tüm birleştiricilerin koleksiyonu olsun . Mı kombinasyon yöntemiyle komple? $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$

Cevabın olumsuz olduğuna inanıyorum, ancak bunun için bir referans bulamadım. Ayrıca, birleştiricilerin kümelerinin kombinatoryal eksikliğinin kanıtlarına ilişkin referanslarla da ilgilenirim ( sadece bir bağlı değişkenli birleştiricilerden oluşan setinin neden eksik olduğunu anlayabiliyorum , bu yüzden bu kümeler sadece unsurlarından daha fazlasını içermelidir ). $\mathcal{D}$ $\mathcal{D}$

lo.logic lambda-calculus combinatory-logic

— TCI
kaynak

Ne demek istediğinizi bir birleştiricinin ilişkili değişkenlerinin sayısı ile açıklayabilir misiniz (= kapalı lambda terimi)? Toplam lambda soyutlama sayısı?

— Noam Zeilberger

Evet, demek istediğim buydu.

— tci

Aslında, belki de tam olarak bunu kastettiğiniz şey değil ... belki de lambda soyutlamalarında kullanılan farklı değişkenlerin toplam sayısını kastediyorsunuz, örneğin

dört lambda soyutlamasına rağmen iki farklı değişken var mı? Bu durumda, Rick Statman'ın " İki değişken yeterli değildir " bölümünde tam olarak bu soruyu (olumsuz) cevapladığı görülüyor .

(λ x . x (λ y . y)) (λ x . λ y . x y)

$(\lambda x.x(\lambda y.y))(\lambda x.\lambda y.x y)$

— Noam Zeilberger

Sağ. Bence aradığım cevap bu ve kesinlikle Statman'ın bir sonucu olmasını bekliyordum. Henüz kontrol etmedim, ama bunun da bahsettiğim soruya olumsuz bir cevap vereceğini düşünüyorum. Bir cevap olarak gönderirseniz, memnuniyetle kabul ediyorum.

— tci

[Yorumu bir cevaba genişletmek.]

İlk olarak, bir birleştiricide bağlı değişkenlerin sayılması hakkında bir açıklama (= kapalı terim) . Soruyu sorarak , örneğin terimi sahip olarak sayılır diye yorumluyorum. dört bağlayıcı olmasına rağmen iki bağlı değişken (yani lambda soyutlamaları). Bu sayma yöntemi başlangıçta benim için biraz tuhaftı çünkü altında değişmez değil $t$

içindeki farklı bağlı değişken adlarının toplam sayısı t

$\text{the total number of distinct bound variable names in }t$

t = (λ x . x (λ y . y)) (λ x . λ y . y x)

$t = (\lambda x.x(\lambda y.y))(\lambda x.\lambda y.yx)$

-dönüşüm: örneğin,

isimli

-eşdeğer için

, ancak

dört ayrı bağlanmış değişken isimleri vardır. Ancak, bu bir sorun, gerçekten değilasgarikapalı bir terim yazmak için gerekli farklı bağlı değişken adlarının sayısı

eşittir

α

$\alpha$

t

$t$

α

$\alpha$

t^{'} = (λ x . x (λ y . y)) (λ a . λ b . b a)

$t' = (\lambda x.x(\lambda y.y))(\lambda a.\lambda b.ba)$

t^{'}

$t'$

t

$t$

aralığındaki maksimum serbest değişken sayısı t

$\text{the maximum number of free variables in a subterm of }t$ ve son kavram

dönüşüm altında değişmezdir .

α

$\alpha$

Öyleyse, en fazla iki farklı bağlı değişken kullanılarak yazılabilen tüm birleştiricilerin toplanması veya eşdeğer olarak altyazıları en fazla iki serbest değişkeni olan tüm birleştiricilerin toplanması olsun. $\mathcal{C}$

Teorem (Statman) : kombinasyonel olarak tam değildir. $\mathcal{C}$

Bunun orijinal kanıtı Rick Statman'ın teknik raporunda yer alıyor gibi görünüyor:

İkinci Derste Kalıtsal Biçerdöverler. Carnegie Mellon Matematik Bölümü Teknik Raporu 88-33, Ağustos 1988. ( pdf )

Statman, "SICAK" olarak adlandırdığı, "ikinci derece kalıtsal" için esasen izomorfik bir birleştirici koleksiyonunu tanımlar. Teknik rapor aslında, HOT için kelime probleminin (yani, eşitlik) kombinasyonel olarak tam olmamasına rağmen hala kararsız olduğunu göstermektedir. Statman daha sonra HOT'in birleştirici olarak tamamlanmadığına dair kanıt içeren kısa bir müstakil kağıt yazdı: $\beta$

İki değişken yeterli değildir. İtalyan Teorik Bilgisayar Bilimi Konferansı, s. 406-409, 2005. ( acm )

$Hn$ $Hn$ $n+1$ $\beta$ $n$ $S = \lambda x.\lambda y.\lambda z.(xz)(yz)$ $n$ $n$ $Hn$ $n+1$

— Noam Zeilberger
kaynak