TSP için Bellman-Held-Karp algoritmasının zaman karmaşıklığı, 2

Yakın tarihli bir soru , TSP için Bellman ve Held-Karp'tan bağımsız olarak şu anda klasik dinamik programlama algoritmasını tartıştı . Algoritmanın evrensel olarak sürede çalıştığı bildirilmiştir . Ancak, öğrencilerimden birinin yakın zamanda belirttiği gibi, bu çalışma süresi mantıksız derecede güçlü bir hesaplama modeli gerektirebilir.$O(2^n n^2)$

İşte algoritmanın kısa bir açıklaması. Giriş yönlendirilmiş bir grafiktir oluşur olan köşeler ve negatif olmayan bir uzunluk fonksiyonu . Herhangi bir köşe için ve ve herhangi bir alt kümesi hariç bu köşelerin ve , izin en kısa Hamilton yolun uzunluğu belirtmek için kaynaklı alt grafiği olarak . Bellman-Held-Karp algoritması aşağıdaki tekrarlamaya dayanmaktadır (veya iktisatçılar ve kontrol teorisyenleri buna “Bellman denklemi” demeyi sever):n ℓ : E → R + s t X s t L ( s , X , t ) s t G [ X ∪ { s , t } $G=(V,E)$$n$$\ell\colon E\to\mathbb{R}^+$$s$$t$$X$$s$$t$$L(s,X,t)$$s$$t$$G[X\cup\{s,t\}]$

Herhangi bir tepe $s$ , satıcı tur seyahat optimum uzunluğu $L(s,V\setminus\{s\}, s)$ . İlk parametre $s$ tüm özyinelemeli aramalarda sabit olduğundan, $\Theta(2^n n)$ farklı alt sorunlar vardır ve her alt sorun en fazla $n$ kişiye bağlıdır . Böylece, dinamik programlama algoritması $O(2^n n^2)$ zamanında çalışır.

Yoksa öyle mi ?!

Standart tamsayı RAM modeli, bitleri ile tamsayıların sabit zamanlı manipülasyonuna izin verir , ancak en azından aritmetik ve mantıksal işlemler için, daha büyük tamsayıların kelime boyutlu parçalara bölünmesi gerekir. (Aksi takdirde garip şeyler olabilir.) Bu, daha uzun bellek adreslerine erişim için de geçerli değil mi? Bir algoritma süperpolinomyal alan kullanıyorsa, bellek erişimlerinin sadece sabit bir süre gerektirdiğini varsaymak mantıklı mıdır?$O(\log n)$

Özellikle Bellman-Held-Karp algoritması, algoritma alt küme tanımı dönüştürmek gerekir $X$ alt-kümesi açıklaması içine $X\setminus\{v\}$ , her biri için $v$ , sırayla erişim memoization tablo. Alt kümeler tamsayılarla temsil ediliyorsa, bu tamsayılar $n$ bit gerektirir ve bu nedenle sabit zamanda değiştirilemez; tamsayılarla temsil edilmiyorsa, temsilleri doğrudan not tablosunda bir dizin olarak kullanılamaz.

Peki: Bellman-Held-Karp algoritmasının asimtotik çalışma süresi nedir?

Bu daha az bir felsefi olandan matematiksel cevabın, ama bilinmediğini bit bazı sayı B ile tamsayılar sürekli zamanlı manipülasyon sağlayan bir RAM modelinin düşünmeyi tercih ama en azından kadar büyük , nerede S algoritmanın gerektirdiği alan miktarıdır. Çünkü eğer tamsayılar o kadar büyük olmasaydı, hafızanıza nasıl hitap edebilirdiniz? Polinom zaman ve uzay algoritmaları için O (log n) bitleri ile aynıdır, ancak üstel uzay algoritmaları için problemden kaçınır.$\log_2 S$

Elbette, S gerçekten sahip olduğunuz bellek miktarını aşarsa, algoritmanız hiç çalışmaz. Ya da, belleğe ve belleğe bilgi girerek çalışır ve RAM modeli yerine bir bellek hiyerarşi modeli kullanmanız gerekir.

Fedor V.Fomin ve Dieter Kratsch " Tam Üstel Algoritmalar " tarafından birim kitaplı RAM modelinde ve günlük maliyetli RAM modelinde ( - maksimum mesafe şehirde arasında f ( n ) = O * ( g ( n ) ) eğer f ( n ) = O ( g ( n ) p O l y ( n ) ) ):$W$$f(n)=\mathcal{O}^{\ast}(g(n))$$f(n)=\mathcal{O}(g(n)poly(n))$

ve 2 n logW n O ( 1 ) (not, 2 n logW n O ( 1 ) ∉ O ∗ ( 2 n )).$\mathcal{O}^{\ast}(2^n)$$2^n\log Wn^{\mathcal{O}(1)}$$2^n\log Wn^{\mathcal{O}(1)}\notin\mathcal{O}^{\ast}(2^n)$