Bir matris probleminin karmaşıklığı

Son zamanlarda araştırmamda aşağıdaki sorun ortaya çıktı. Algoritmik sorular konusunda uzman olmadığımdan, indirilecek uygun problemleri arama konusunda yoğun bir şekilde Googled'im. 3SAT'ın nasıl işe yaradığını göremiyorum ve ZOE ruhaniyette benzer olsa da, bir azalma açık değildir. Başka bir olasılık, gerçeklerin varoluşsal teorisi olabilir. Bu tam bir eşleşme gibi gözükmüyor ama ben bu konuda yanılmış olabilirim.

Sorun: $A$ ve $B$ her ikisi $n\times n$ favori alanın üzerine -matrisleri. Biz indekslerinin keyfi bir dizi varsayalım $A$ Aynı şekilde, indekslerinin keyfi bir dizi 0'a ayarlanır $B$ 0. Soru ayarlanır: Biz kalan endeksleri doldurabilir $A$ ve $B$ öyle ki $AB = I_n$ ?

Örnek: $A = \begin{bmatrix} 0 & a_1 \\ a_2 & 0 \end{bmatrix}$ , $B = \begin{bmatrix} b_1 & 0 \\ 0 & b_2 \end{bmatrix}$ . Mümkün değil.

Bunun hesaplamalı karmaşıklığı nedir ( $n$ cinsinden )?

Literatürde benzer sonuçların aranacağı yerler ile ilgili ipuçları veya fikirler çok takdir edilecektir.

EDIT (bu yazıyı tamamen unutmuş): arXiv üzerinde mevcut olan son çalışmalarda (eğer ön baskıyla ilgilenen biri varsa bana bildirsin) sorunun sonlu bir alanda NP-zor olduğunu gösterdik.

cc.complexity-theory

— MB
kaynak

Temel alanın yeterince büyük olması koşuluyla,

ters çevrilebilir yapıp yapamayacağınızı kontrol etme sorunu, polinom kimlik testine (tamamlayıcı) indirgenir. Sadece

determinantının eksik girişlerin değerlerinde bir polinom olduğunu gözlemleyin .

A B

$AB$

A B

$AB$

— Andrew Morgan,

Ayrıca,

girişlerini sıfır-bir olarak sınırlandırdığımız ve alanın karakteristiğinin

büyük olduğu durumlarda , iki taraflı mükemmel eşleşmeye azalır. Her bir indeks

başka bir indeks

almayı hayal edebilirsiniz, böylece

ve kalan girişleri sıfır olarak ayarlayabilirsiniz . (Bundan daha fazlasını koymak sadece acıtabilir.) O zaman

koşulu ,

indeksleriyle iki taraflı bir grafik olarak ifade edilebilir.

A

$A$

B

$B$

n

$n$

i

$i$

k_{i}

$k_i$

A_{i, k_{i}} = B_{k_{i}, i} = 1

$A_{i,k_i} = B_{k_i,i} = 1$

A B = I_{n}

$AB = I_n$

i

$i$ solda, sağda

seçenekleri ve

ayarlayabileceğimiz

çiftlerin kenarları .

k_{i}

$k_i$

(i, k_{i})

$(i,k_i)$

A_{i, k_{i}}

$A_{i,k_i}$

B_{k_{i}, i}

$B_{k_i,i}$

— Andrew Morgan

@MB: Ayrıca, not, eğer kontrol ederken

ters çevrilebilir her iki şekilde de kontrol aynıdır yapılabilir

olmadığını kontrol, ayrı ayrı, ters çevrilebilir yapılabilir

ters çevrilebilir olmadığını kontrol ile aynı değildir yapılabilir

yapılabilir kimlik . Olmadığını kontrol için

(sırasıyla.

) ters çevrilebilir yapılabilir, siz "o, etkili bir şekilde yapılabilir" ama senin bu ayarı söz eşdeğer desteğiyle arasında mükemmel bir eşleşme için kontrol etmek

(resp.

A B

$AB$

A

$A$

B

$B$

A B

$AB$

A B

$AB$

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$ ) (aynı problem, ancak Andrew Morgan'ın ikinci yorumundan biraz farklı bir ayar).

— Joshua Grochow

Bu sorunla ilgili bazı özel durumlar, PPAD'da Doğrusal Tamamlayıcılık Sorunu gibi görünüyor: kintali.wordpress.com/2009/08/04/linear- complementarity-prob‌em Bu, bir çözüm bulmanın zor olduğunu göstermektedir.

— domotorp

Başkalarının bunu henüz çözemediği durumda,

olan ancak mükemmel eşleştirme testinin başarısız olduğu

(herhangi bir alanın üstünde) seçeneği vardır . yani hiçbir permütasyon matristir

böylece

desteği üzerinde desteklenen

. Seçim

A, B

$A,B$

A B = I

$AB = I$

P

$P$

P

$P$

A

$A$

P^{- 1} = P^{⊺}

$P^{-1}=P^{\intercal}$

B

$B$

A = [\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \end{matrix}]

$A=\begin{bmatrix}1&-1&0\\1&0&1\\1&-1&1\end{bmatrix}$

B = [\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ - 1 & 0 & 1 \end{matrix}]

$B=\begin{bmatrix}1&1&-1\\0&1&-1\\-1&0&1\end{bmatrix}$

— Andrew Morgan,

Evet, işte : bağlanan ya da Riemann Hipotezi, varsayımıyla ilgili olmayan korkunç bir üst . İçin sıfır herhangi bir desen için, bu ise hale olup olmadığını kontrol etmek, , belirli bir sistemin olmadığı kontrol edilir polinom denklemler tam sayı içinde bir çözümü vardır ve bu üst bu yapılabilir sınırlar, Koiran tarafından. $\mathbb{C}$ $\mathsf{PSPACE}$ $\mathsf{AM}$ $A,B$ $AB=I_n$ $n^2$ $\mathbb{C}$

Diğer bir yaklaşım, bunun aslında bir bilinear denklemler sistemi olduğu gerçeğinden yararlanmaya çalışmaktır . Bilinear denklemleri çözmek lineer denklemlere "rank 1" çözümleri bulmakla eşdeğerdir. Genel olarak bilinear sistemleri çözmek için daha iyi üst sınırlar olup olmadığını belirlemeye çalıştım, ancak şimdiye kadar şanssız kaldım. Ayrıca, genel olarak bilinenlerden daha iyi bir şey elde etmek için bu bilinear denklemlerin özel yapısını kaldırabilir ...

— Joshua Grochow
kaynak

PSPACE, NP’deki problemi takip etmiyor mu?

— MB,

@ MB: Sonlu alanlar üzerinde problem açıkça NP'de (değişkenlerin ayarını göstermesi) açıktır, ki bu AM'den bile daha iyi bir üst sınırdır. Girdi tamsayılı polinomlar olduğunda, ancak karmaşık sayılar için bir çözüm istersiniz, bir çözüm olduğunda, polinom olarak sınırlanmış olsa bile, herhangi bir sınırlı miktarda belleğe yazabileceğiniz bile açık değildir.

— Joshua Grochow