Umurunda olmayan desen eşleştirme: birden çok desen

Kalai'nin 2 sayfalık SODA kağıdı , umursamayan desen eşleştirme için basit ve etkili bir algoritma sağlar (bir karakterle eşleşen joker karakterler). Özünde, evrişim kadar kolaydır.

Ama umursamadığımız çoklu kalıplar ararsak ne olur ? Yine de bir şekilde örneğin FFT tabanlı tekniklerle çözebilir miyiz?

Çoklu örüntü durumu için, en azından güçlü üstel zaman hipotezi başarısız olmadıkça, her birinin taranması mümkün olan en iyi çözüm olabilir.

Verilen setleri hatırlayın $S_1, S_2, \dotsc, S_n$ ve $T_1, T_2, \dotsc, T_n$ evren üzerinde $[m]$, var olup olmadığına karar verebilirsek $S_i$ ve $T_j$ öyle ki $S_i \cup T_j = [m]$ zamanında $O(n^{2-\varepsilon}\operatorname{poly}(m))$, daha sonra SETH başarısız olur, yani çalışma zamanı olan bir CNF-SAT algoritmamız var $O^*\bigl(2^{(1-\varepsilon/2)n}\bigr)$.

Verilen setler $S_1, S_2, \dotsc, S_n$ ve $T_1, T_2, \dotsc, T_n$, yukarıdaki sorunu ikili alfabe üzerinde umurumda değil ile çoklu desen eşleştirme olarak aşağıdaki gibi kodlarız:

• Bu metin $$1[T_1]10^{m+2}1[T_2]10^{m+2}\dots0^{m+2}1[T_n]1\,,$$ nerede $[T_i]$ doğal kodlamasıdır $T_i$ ikili dize olarak.
• Sahibiz $n$ form kalıpları $1\langle S_i \rangle 1$, nerede $\langle S_i \rangle$ bir dize $y = y_1y_2\dots y_m$ öyle ki $y_j = 1$ Eğer $j \notin S_i$ ve $y_j = *$ Eğer $j \in S_i$ (buraya $*$ umurumda değil sembolüdür).

Şimdi bir modelin $1\langle S_i \rangle 1$ metnini şu durumlarda eşleştirebilir: $1[T_j]1$ve sadece $S_i \cup T_j = [m]$. Toplam desen uzunluğu ve metnin uzunluğu$O(nm)$Örneğin, birden çok model için doğrusalya yakın bir tek geçişli algoritma, en iyi bilinen CNF-SAT algoritmalarına göre önemli gelişmeler sağlayacaktır ...

(Bunun, kalıpların ön işlemesi için çok fazla zaman kullanan algoritmalarla ilgili hiçbir şey söylemediğini, örneğin kalıpların toplam uzunluğunda ikinci dereceden bir şey söylemediğini unutmayın.)