Etiketli DAG'lar için Dilworth teoreminin genelleştirilmesi

Bir antichain a DAG olan bir alt-kümesi , yani hiçbir vardır, ikili erişilemiyor köşelerin olacak şekilde erişilebilir olup de . Kaynaktan Dilworth teoremi kısmi sıralama teorik olarak, bilinmektedir ki DAG bir boyutta antichain ise , o zaman en az bir birliğe ayrışabilir ayrık zincirleri, yani yönlendirilmiş yollar. $(V, E)$ $A \subseteq V$ $v \neq v' \in A$ $v$ $v'$ $E$ $k \in \mathbb{N}$ $k-1$

Şimdi, etiketlenmiş DAG'larla , yani her tepe noktasının bazı sabit sonlu kümelerde etiketlerinde bir etiket taşıdığı DAG'larla ilgileniyorum . Bir antichain verilen , onun tanımlayabilir etiketli boyutu etiketlerin geçtiği az sayıda olarak içinde , yani,. Bu bağlamda Dilworth teoreminin bir analogu var mı? Başka bir deyişle, bir DAG'ın etiketli boyutunda bir antikalin olmadığını varsayarsam $v$ $\lambda(v)$ $\Sigma$ $A \subseteq V$ $\Sigma$ $A$ $\min_{a \in \Sigma} |\{v \in A \mid \lambda(v) = a\}|$ $k \in \mathbb{N}$ , yapısı hakkında ne varsayabilirim? Özel bir şekilde parçalayabilir miyim? Zaten vakası beni şaşırtıyor $\Sigma = \{a, b\}$ , ama aynı zamanda genel bir sonlu etiket seti ile de ilgileniyorum.

Bu görselleştirmek için $\Sigma = \{a, b\}$ olduğunu söyleyen $G$ etiketli boyutu hiç antichain sahip $k$ en az ihtiva eden bir antichain olduğu vasıtası $k$ noktalar etiketli $a$ ve $k$ etiketli köşe $b$ ; keyfi olarak büyük antikalar olabilir, ancak en fazla istisnaları olmak üzere sadece $a$ eleman veya sadece $b$ eleman içermelidirler . Büyük antichains izin vermemek uygulanması gerektiğini görünüyor esas DAG için büyük bir genişliğe parçaları arasında "dönüşümlü" -etiketli köşelerin ve için büyük genişlik $k-1$ $a$ $b$ etiketli köşeler, ancak bu sezgiyi resmileştiremedim. (Tabii ki, uygun bir yapısal karakterizasyon şekline ek olarak köşe etiketlerinden de bahsetmelidir, çünkü zaten $k \geq 1$ ve $\{a, b\}$ için durum tamamen keyfi DAG'lar tarafından yerine getirildiğinde köşeler aynı etiketi taşır.)

— a3nm
kaynak

@Saeed, Hayır, bu çalışmıyor. Karışıklık, antik bir harfte bir harf görünmüyorsa, etiketlenmiş boyutunun olması gerçeğinden kaynaklanmaktadır . Örneğin, her kenar A'dan B'ye yönlendirilmiş tam bir iki taraflı grafik G = (A, B, E) alın. A'nın her bir tepe noktasını B ile ve her bir tepe noktası ile etiketleyin . Daha sonra her antikalinin içinde en fazla bir renk vardır ve bu nedenle boyutunda etiketlidir , ancak ayrık zincirlerle kaplayamazsınız. Birlikte etiketlemek bir DAG aynı tek.

0

$0$

a

$a$

b

$b$

0

$0$

m (k - 1)

$m(k-1)$

a

$a$

— holf

@holf, doğru, antik çağda göründükleri etiketleri saydığımızı sanıyordum, min'in sigma'nın tüm unsurlarını geçtiğini fark etmedim. Bence biraz garip bir tanım.

— Saeed

@Saeed: Mesele, çok çeşitli sembollerle antiklinallere izin vermemek. Bunun sezgisi, DAG'lardaki bir sorunun karmaşıklığını inceliyoruz, bu da bu kadar büyük antikalinleriniz olduğunda (çok sayıda eşsiz sembol oluşumu) önemsiz hale geliyor. Genel izlenebilirliği göstermek için, sadece bu modelin oluşmadığı DAG vakalarını ele almamız gerekir, bu nedenle bu tür DAG'ların kendileri için izlenebilir bir algoritma tasarlamak için nasıl ayrıştırılabileceğini anlamak istiyoruz. (Etiketlenmemiş durumda, örneğin, zincir ayrışması dinamik bir algoritmaya yol açar.)

— a3nm

İle Charles Paperman biz alfabenin ile etiketlenmiş DAG için böyle bir sonucu elde etmek mümkün olmuştur . Esasen, etiketli elemanların büyük antikalinlerine, etiketli elemanların büyük antiklinlerine sahip bir DAG göz önüne alındığında , ancak hem etiketli hem de etiketli elementlerin bulunduğu büyük antiklinlerin bulunmadığını gösterebiliriz . bölümü , burada: $\{a, b\}$ $G$ $a$ $b$ $a$ $b$ $G$ $L_1, \ldots, L_n$

bölümü "katmanlama" dediğimiz şeydir, yani:
- Her dışbükey grubu, örneğin, eğer bir ve sonra $L_i$ $x, y \in L_i$ $x \leq z \leq y$ $z \in L_i$
- tüm , bir yoktur ve bu şekilde $i < j$ $x \in L_i$ $y \in L_j$ $y \leq x$
herhangi antichain için ve , bazı yoktur öyle ki "neredeyse içerdiği" içinde olduğu , yanisabitten daha az $A$ $G$ $i$ $A$ $L_i$ $|A \setminus L_i|$
her için aşağıdakilerden biri doğrudur:
- $L_i$ büyük bir antichain içeren -etiketli elemanları ve hiçbir büyük antichain içeren -etiketli elemanlar $a$ $b$
- $L_i$ büyük bir antichain içeren -etiketli elemanları ancak hiçbir büyük antichain içeren -etiketli elemanlar $b$ $a$

Ayrıca, böyle bir bölüm PTIME olarak hesaplanabilir.

Mevcut kanıtımızı çevrimiçi olarak yayınladım . Çok kaba ve esasen kanıtlanmış değil, çünkü şu an için sonuç için bir kullanımımız yok, ancak şu anki ilerlememizle bu CStheory sorusuna bir cevap eklemenin daha düzenli olduğunu düşündüm. Sonuçla ilgileniyorsanız, ancak kanıtı anlayamıyorsanız, benimle iletişime geçmekten çekinmeyin.

— a3nm
kaynak