SAT bağlamsız bir dil midir?

Tüm tatmin edici teklif mantık formüllerinin dilini düşünüyorum, SAT (bunun sonlu bir alfabesi olduğundan emin olmak için, teklif harflerini uygun bir şekilde kodlayacağız [değiştir: cevaplar sorunun cevabının altında olmayabilir kodlamalar değiştiğinden, birisinin daha spesifik olması gerekir - aşağıdaki sonuçlarıma bakın] ). Benim basit sorum

Mı SAT bir bağlam-dil?

İlk tahminim, bugünün (2017 başı) cevabının "Kimse bilmiyor olması gerektiğiydi, çünkü bu karmaşıklık teorisindeki çözülmemiş sorularla ilgilidir." Ancak, bu tamamen doğru olmasa da, gerçekten doğru değildir (aşağıdaki cevaba bakınız). İşte bildiğimiz şeylerin kısa bir özeti (bazı bariz şeylerden başlayarak).

SAT düzenli değil (çünkü eşleşen parantez nedeniyle öneri mantığının sözdizimi bile düzenli değil)
SAT bağlama duyarlıdır (bunun için bir LBA vermek zor değildir)
SAT , NP-tamdır (Cook / Levin) ve özellikle polinom zamanında belirleyici olmayan TM'ler tarafından kararlaştırılır.
SAT ayrıca tek yönlü belirsiz yığın otomata (1-NSA) tarafından da tanınabilir (bakınız WC Turları, Orta Seviye dillerinde tanınmanın karmaşıklığı , Anahtarlama ve Otomata Teorisi, 1973, 145-158 http://dx.doi.org/ 10.1109 / SWAT.17373.5 )
Bağlamdan bağımsız diller için kelime sorunu kendi karmaşıklık sınıfına sahiptir (bkz. Https://complexityzoo.uwaterloo.ca/Complexity_Zoo:C#cfl ) $\textbf{CFL}$
$\textbf{CFL}\subseteq\textbf{LOGCFL}\subseteq\textbf{AC}^{\textbf{1}}$ ; burada , indirgenebilen sorun sınıfıdır (bkz. https) : //complexityzoo.uwaterloo.ca/Complexity_Zoo: L # logcfl ). olduğu bilinmektedir . $\textbf{LOGCFL}$ $\textbf{CFL}$ $\textbf{NL}\subseteq\textbf{LOGCFL}$
Bu olup olmadığı bilinmemektedir ya da (aslında, daha açık; Sanırım bunu S. Arora, B. Barak'tan aldım: Hesaplamalı Karmaşıklık: Modern Bir Yaklaşım ; Cambridge University Press 2009). Bu nedenle, içinde olmadığı bilinen sorun olamaz . Bu yüzden, eğer o bilinmeyen olmalıdır SAT içindedir . $\textbf{NL}\subsetneq\textbf{NP}$ $\textbf{NL}=\textbf{NP}$ $\textbf{NC}^{\textbf{1}}\subsetneq\textbf{PH}$ $\textbf{NP}$ $\textbf{LOGCFL}$ $\textbf{LOGCFL}$

Bununla birlikte, bu son nokta SAT'ın içinde olmadığı bilinmesine devam etmektedir . Genel olarak, sorumun epistemik durumunu netleştirmeye yardımcı olabilecek ile hiyerarşisi arasındaki ilişki hakkında fazla bir şey bulamadım . $\textbf{CFL}$ $\textbf{CFL}$ $\textbf{NC}$

Yorum (bazı ilk cevapları gördükten sonra): Formülün konjonktif normal formda olmasını beklemiyorum (bu, cevabın özünde bir fark yaratmayacak ve genellikle CNF de bir formül olduğu için argümanlar hala geçerli. sözdizimi için parantez gerektiğinden, sorunun değişken sayısı sabit sürümünün düzenli olarak başarısız olduğunu iddia edin.).

Sonuç: Karmaşıklık teorisinden ilham aldığım tahminin aksine, doğrudan SAT'ın bağlamdan bağımsız olmadığını gösterebiliriz . Bu nedenle durum:

Bu bilinmektedir SAT olan içerik içermeyen değildir : (diğer bir deyişle SAT değil ) bir kodlayan bir "doğrudan" kullandığı varsayımıyla önerme değişkenler ikili sayı ile tanımlanır formüller (ve bazı operatörler ve ayırıcılar için başka semboller kullanılır). $\textbf{CFL}$
SAT'ın içinde olup olmadığı , "çoğu uzman bunun olmadığını" düşünmektedir, çünkü bu anlamına gelecektir . Bu aynı zamanda SAT'ın diğer "makul" kodlamalarının bağlamsız olup olmadığı bilinmemektedir (günlük alanını NP zor bir sorun için kabul edilebilir bir kodlama çabası olarak kabul edeceğimizi varsayarsak). $\textbf{LOGCFL}$ $\textbf{P}=\textbf{NP}$

Bu iki noktanın anlamına . Bu doğrudan (dolayısıyla ) bağlam içermeyen diller olduğunu göstererek gösterilebilir (örneğin, ). $\textbf{CFL}\subsetneq\textbf{LOGCFL}$ $\textbf{L}$ $\textbf{LOGCFL}$ $a^nb^nc^n$

— mak
kaynak

Eğer öyleyse, P = NP.

— Ryan

SAT bağlamdan bağımsız olsaydı, dinamik programlama (CYK algoritması) SAT üyeliğini test etmek için polinom zaman algoritması verir ve P = NP verir. P = NP bile SAT'ın Bağlamdan Bağımsız olduğu anlamına gelmez. Değişkenlerin bu kodlaması, kredi verdiğinizden daha önemli olabilir. Ayrıntıları çözmedim, ancak değişkenlere tekli veya ikili "abonelikler" eklediyseniz, yeterince büyük endeksler için (x ve y) 'yi (x değil) ayırt etmekte zorlanacağınızı düşünüyorum.

— AdamF

P = NP sonuçları talep etmeden önce temsil konusunda kesin olmalısınız. Örneğin, bir N sayısının çarpanlarına ayrılması, N cinsinden polinom zamanıdır (ilginç soru, N'yi ikili veya N loguna yazmak için gereken bit sayısı ile ilgilidir).

— Aryeh

P = NP sonucunun farkındaydım ve bu nedenle cevabın "evet" olması beklenmiyordu (bunu nasıl ifade ettiğim için biraz kışkırtıcı olduğum için özür dilerim ;-). Bunun gerçekten bilinip bilinmediğini veya sadece "çoğu uzmanın inandığı" bir şey olup olmadığını merak ediyordum (cevaplar şimdi birincinin doğru olduğunu açıkça gösteriyor; zaman içinde birini seçeceğim).

— Mak

Yanıtlar:

İyi bilinen sonuçların bir karışımını kullanan alternatif bir kanıt.

Farz et ki:

değişkenler normal ifadesi ile ifade edilir $d = (+|-)1(0|1)^*$
ve (o normal ) dilin (fazla CNF formülleri temsil etmek için kullanılır: ; değişken yeniden adlandırmaya kadar geçerli tüm CNF formüllerini aldığını unutmayın . $\Sigma = \{0,1,+,-,\land,\lor\})$ $S = \{ d^+ (\lor d^+)^*(\land (d^+ (\lor d^+)^*))^* \}$ $S$

Örneğin şu şekilde yazılır: ( operatörünün önceliği vardır ). $\varphi = (x_1 \lor x_2) \land -x_3$ $s_{\varphi} = +1 \lor +10 \land -11 \in S$ $\lor$ $\land$

Diyelim ki St gelen formül karşılanabilir olduğunu CF olduğunu. $L = \{ s_{\varphi} \in S \, \mid$ $\varphi$ $\}$

Normal dil ile : hala bir CF dili alırız. Homomorfizmayı da uygulayabiliriz: , ve dil CF olarak kalır. $R = \{ +1^a \land -1^b \land -1^c \mid a,b,c > 0 \}$ $h(+) = \epsilon$ $h(-) = \epsilon$

Ancak elde ettiğimiz dil: , çünkü ise "kaynak" formülü bu da tatmin edilemez ( ise benzer şekilde ). Ama iyi bilinen sigara CF dilidir çelişki. $L' = \{ 1^a \land 1^b \land 1^c \mid a \neq b, a \neq c\}$ $a=b$ $+x_a \land -x_a \land -x_b$ $a=c$ $L'$ $\Rightarrow$

— Marzio De Biasi
kaynak

Bu yaklaşımı şimdi kabul ediyorum, çünkü diğer yaklaşımla ilgili hala açık bir konu var (yorumlara bakın) ve biraz daha temel argümanı seviyorum. Argümanın seçilen kodlamaya özgü olduğunu vurgulamak güzel olabilir ve bağlamsız bir dile yol açan başka bir basit (günlük) kodlama bulabilirse gerçekten bilinmemektedir.

— mak

@mak: SAT'ın diğer herhangi bir "makul" kodlamasının benzer bir teknikle CF olmayan olduğu kanıtlanabilir. Belki de bir başka ilginç yön, daha genel bir kanıt elde etmek için bir çeşit köşegenleştirme uygulayabilirsek incelemek olacaktır: SAT formülü, belirli bir girişte aşağı itmeli bir otomatiği simüle eden bir hesaplamayı kodlar ve eğer sadece t Kabul et. Ama bu sadece bulanık bir fikir ...

— Marzio De Biasi

Bir dizenin normal dilde olup olmadığını kontrol etmek P'de. SAT'ın Reg. Sonra NP = coNP. L, Reg. L'de değilse doğru olan formülü düşünün. NP formundadır, böylece SAT formülü olarak ifade edilebilir. Değilse dilde.

— Kaveh

Değişken sayısı sonlu ise, tatmin edici bağlaçların sayısı da aynıdır, bu nedenle SAT diliniz sonludur (ve dolayısıyla normaldir). [Düzenle: bu talep CNFSAT formunu kabul eder.]

Aksi takdirde, izin en gibi kodlama formüllerine kabul ile $(x_{17}\vee \neg x_{21})\wedge (x_{1}\vee x_{2}\vee x_3)$ . Ogden'ın lemmasını , tüm tatmin edilebilir bağlaçların dilinin bağlamdan bağımsız olmadığını kanıtlamak içinkullanacağız. $(17+\tilde{} 21)(1+2+3)$

Izin vermek Ogden's lemma içinde "işaretleme" sabit olmak ve ilk cümlesi oluşan bir sat-formül düşünün - yani, kodlama , burada içeren ondalık sayı olanlar. Biz işaretlemek ait olanları ve ardından uygun ayrışma tüm pumpings gerektirir da karşılanabilir olması (Ogden lemmasının sonuca bakın). Ancak bunu, içeren hiçbir cümle gerektirmediği takdirde kolayca engelleyebiliriz ; burada , $p$ $w$ $(1^p)$ $(x_N)$ $N$ $p$ $p$ $1^p$ $w$ $x_q$ $q$ 'den daha kısa s , karşılanabilir olduğu - örneğin, her diğer maddesi sağlayarak bu türden her bir olumsuzluk vardır . Bu, "negatif pompalama" özelliğini bozduğuanlamına gelirve dilin bağlamdan bağımsız olmadığı sonucuna varırız. [Not: Pompalamanın kötü biçimlendirilmiş dizeler ürettiği önemsiz vakaları görmezden geldim.] $1$ $p$ $w$ $x_q$ $w$

— Aryeh
kaynak

Not: Sonlu sayıda değişken için dilin sonlu olduğu iddiamda, bir cümle veya bir cümle içindeki bir değişkeni sınırsız olarak birçok kez tekrarlamaktan dolaylı olarak izin vermiyorum

— Aryeh

... Ama bence dil hala düzenli, çünkü biri "esasen farklı" (önemsiz tekrarlar olmadan) formüllerin sonlu koleksiyonunu alıyor ve çeşitli tekrarlara izin veriyor.

— Aryeh

Düzenli hak talebi sadece CNFSAT için geçerlidir (soruma bir açıklama ekledim).

— Mak

Sonlu olarak çok sayıda değişkendeki keyfi CNF olmayan formüllerde bile, tatmin edilebilirlik (ve bu konu için mantıksal olarak iki eşdeğer formülü ayırt edemeyen herhangi bir dil) kolayca bağlamdan bağımsız olarak görülür. Ancak bunun ilgisini göremiyorum. Formüllerin çok sayıda değişkente tatmin edilebilirliği, SAT'ın karmaşıklığıyla ilgisi olmayan önemsiz bir sorundur.

— Emil Jeřábek

Tamam, sorunu görüyorum - örtük olarak varsayıyorum

uzunluğunda sınırlanabilir (klasik pompalama lemmasında olduğu gibi), aynı zamanda dizedeki konumu hakkında bir şeyler belirtebilir. Bence bu argüman pompalama lemmasını sıfırdan yaparak düzeltilebilir. Bu ilk değişkeni gerçekten uzun bir 1 dizisi haline getireceğiz - bu 1'lerin bitişik bir alt dizisini oluşturan bazı alt ağaçların pidgeonhole prensibinin uygulanması için yeterince derin olması gerekir.

| x y z |

$|xyz|$

— Aryeh