Turing makinelerinin “kategorisi”?

Feragatname: Karmaşıklık teorisi hakkında çok az şey biliyorum.

Üzgünüm ama bu soruyu (çok) özlü olmadan sormanın hiçbir yolu yok:

Turing makinelerinin "" kategorisindeki morfizmler ne olmalı?

Bu açıkça özneldir ve kişinin teori hakkındaki yorumuna bağlıdır, bu nedenle bu soruya bir cevap ideal olarak yanıtı destekleyen bazı kanıtlar ve akıl yürütme sağlamalıdır.

Ben kategorisi arıyorum vurgulanmak noktayı istiyorum Turing makineleri ve değil biçimsel dilleri örneğin. Özellikle morfizmlerim daha az bilgi sonra indirimler veya böyle bir şey içermesi gerektiğini düşünüyorum (emin değilim).

Tabii ki literatürde zaten bilinen ve kullanılmış bir kategori varsa bunun ne olduğunu bilmek istiyorum.

cc.complexity-theory turing-machines ct.category-theory

— Saal Hardali
kaynak

Bunu kendin söyledin - hesaplanabilir fonksiyonlar.

— Yuval Filmus

@Marhael, bir kategoriye girene kadar bir yapıyı asla tanımlamamanızdır. Bu, belirli tanımın gereksiz özellikleri kaldırılır.

— Saal Hardali

@SaalHardali Herkesin kategori teorisyenleri tarafından yapılan kurtuluş vaadine abone olmadığını unutmayın. Aslında, birçoğu gözlerini deviriyor.

— Raphael

Etiketli bir morfizmanın bulunmaktadır @JoshuaGrochow

den

için

ise

azaltır

için

(ya da belki başka bir yol),

. Bu, her girişte ya durdurulan ya da durmayan, ancak başka çıkışı olmayan makineler içindir.

f

$f$

T_{1}

$T_1$

T_{2}

$T_2$

f

$f$

T_{2}

$T_2$

T_{1}

$T_1$

T_{1} (x) = T_{2} (f (x))

$T_1(x) = T_2(f(x))$

— Yuval Filmus

Kenara: TM'ler neden nesne olmalı? Morfizm de olabilirler.

— Martin Berger

Yanıtlar:

Saal Hardali, üzerinde bir geometri (veya en azından homotopi teorisi) yapmak için bir Turing makineleri kategorisi istediğini söyledi. Bununla birlikte, benzer amaçlara ulaşmak için birçok farklı yol vardır.

Hesaplanabilirlik ve topoloji arasında çok güçlü bir analoji vardır. Sezgi, sonlandırma / sonlandırmanın Sierpinski alanı gibi olmasıdır, çünkü sonlandırma son derece gözlemlenebilir (yani açık) ve sonlandırmama (açık değil). Martin Escardo'nun ders notlarına bakın Bu fikirlere orta derecede nazik ama kapsamlı bir giriş için veri türlerinin ve klasik alanların sentetik topolojisi .
Eşzamanlı ve dağıtılmış hesaplamada, bir programın olası yürütmelerini bir boşluk olarak düşünmek genellikle yararlıdır ve daha sonra çeşitli senkronizasyon kısıtlamaları uzayın homotopik özellikleri olarak ifade edilebilir. (İnfazın bir zaman sırasına sahip olması, sıradan homotopi teorisinden ziyade yönlendirilmiş homotopi teorisini gerektirmektedir.)

Daha fazla ayrıntı için Eric Goubault'un Eşzamanlılık Teorisine İlişkin Bazı Geometrik Perspektifler makalesine bakın. Ayrıca Maurice Herlihy ve Nir Shavit'in Goedel ödüllü makalesini, dağıtık programlama teorisinde uzun süredir açık olan bazı sorunları çözen Asenkron Hesaplanabilirliğin Topolojik Yapısı'na bakın .
Üçüncü bir fikir, homotopi tip teorisi, Martin-Löf tip teorisinin (muhtemelen?) Omega-groupoid teorisinin sözdizimsel bir sunumu (jeneratörler ve ilişkiler anlamında) - yani soyut modeller homotopi teorisi. Bu fikirlere en iyi giriş, homotopi türü teori kitabıdır .

Tüm bu fikirlerin birbirinden çok farklı olduğunu, ancak yine de geometrik sezgileri kullandığını unutmayın! Ve geometrik karmaşıklık teorisinde ortaya çıkan kullanımlar ve devre teorilerinin grafiklerin (ko) homoloji teorisi açısından nasıl tanımlanabileceği gibi hala bilmediğim başkaları da var .

Temel olarak, CS yaparken geometri bir araçtır - bunu sezgilerinizi resmileştirmek için kullanırsınız, böylece üzerinde yapılan muazzam çalışma gövdesi aracılığıyla kaldıraç elde edebilirsiniz. Ama bu bir fikir yükseltecidir, fikir sahibi olmanın yerini tutmaz!

— Neel Krishnaswami
kaynak

Nesneleriniz Turing makinesiyse, morfizmler için birkaç makul olasılık vardır. Örneğin:

1) Turing makinelerini oldukları otomatalar olarak düşünün ve bant kafalarının hareketlerini koruyan veya tam tersi olan normal otomataların (alfabe ve birbiriyle tutarlı durumlar arasındaki haritalar) düşünün. (örneğin, kaynak TM ne zaman sola giderse, hedef TM sağa ve tam tersi).

2a) Simülasyonları veya bisimülasyonları düşünün .

$T_1$ $T_2$ $f$ $T_1(x) = T_2(f(x))$ $x$

3) Turing makinesinin geçiş grafiğini göz önünde bulundurun (her köşe, makinenin ve bantların durumunun tam bir açıklamasıdır, yönlendirilmiş kenarları TM'nin yapacağı geçişlere karşılık gelir) ve grafiklerin morfizmlerini göz önünde bulundurur. Ancak TM'ler için bu çok kaba bir ilişkidir, çünkü esasen hesaplamanın yerel doğasını göz ardı eder (örneğin, bantların içeriğinin ne olduğunu yoksayar).

Bence asıl soru şudur: TM'ler hakkında bilmek veya onlarla ne yapmak istiyorsunuz ? Bunun yokluğunda, herhangi bir tanım için doğallığın ötesinde (kategorik anlamda değil, kelimenin olağan anlamında) başka bir tanım için argüman vermek zordur.

— Joshua Grochow
kaynak

Bu tür matematikte çok yeniyim. Geçmişte karmaşıklık teorisini okudum, ancak internette birisinin kohomolojik tekniklerin gelecek yüzyılda karmaşıklık teorisine bir şekilde gireceğini ve beni ilgilendirdiğini iddia ettikten sonra, onu son zamanlarda tekrar aldım. Biraz okuduktan sonra, bir turing makinesinin tanımını yüzeysel olarak anlamanın ötesinde, tam olarak ne kodladığını bilmediğimi fark ettim. Soruya bu şekilde ulaştım. Yani çok basit bir düzeyde, kohomolojinin karmaşıklık teorisine nasıl girebileceğini hayal etmeye çalıştığımı söyleyebilirsiniz.

— Saal Hardali

Bunun benim gibi bu konu hakkında çok az şey anlayan biri için çok erken olduğunu fark ettim, yine de kafamda "turing makineleri kategorisinde homotopi teorisi yapmak" kafamda biraz oynamak istedim. Cevabınız güzel ve ben kesinlikle onun yönlerini daha fazla okumayı hedefliyorum. Teşekkür ederim.

— Saal Hardali

@SaalHardali: Kohomolojinin karmaşıklık teorisine gireceğini nereden okuduğunuzu merak ediyorum. İki yol düşünebilirim, ancak henüz homotopi türü teorisi ile bir rota göremiyorum (belki de henüz HoTT'yi yeterince iyi anlamadığım için). Görebildiğim iki yol: (1) dağıtılmış hesaplamada bu zaten oldu, yani. Herlihy ve Rajsbaum ve (2) geometrik karmaşıklık teorisi yoluyla.

— Joshua Grochow

Homotopi teorisiyle, çok fazla HoTT değil, zayıf eşdeğer kategorileri incelemek genel fikrine başvurdum. P =? NP hakkında bir ankette okudum, bu sitedeki sorulardan birinden bağlantılı olduğunu düşünüyorum zor değil. Sanırım ilk tahminim (dışarıdan biri olarak), belki de bir şekilde bir karmaşıklık sınıfına karşılık gelen bir hesaplama modeli kategorisinde bir tür ilginç zayıf eşdeğerlik olması ve daha sonra bu zayıf eşdeğerlik altında değişmeyen işlevleri incelemek, Homotopi teorisi "bu muhtemelen çok naif ve tamamen özledim.

— Saal Hardali

İlginizin hesaplanabilirlik teorisinden ziyade karmaşıklık teorisi olması durumunda, belki de bu cevap size yardımcı olabilir: cstheory.stackexchange.com/a/3422/4896

— Sasho Nikolov

Turing kategorileri Robin Cockett ve Pieter Hofstra tarafından ilginizi çekebilir . Kategori teorisi bakış "ne sorusu açısından Turing makinelerinin kategorisi" "Ne hesaplama temelini kategorik yapıdır" daha az ilginç. Böylece, Robin ve Pieter hesaplanabilirlik teorisi geliştirmek için uygun olan genel bir kategori türünü tanımlarlar. Ardından, Turing makinelerinden başlayarak böyle bir kategoriyi tanımlamak için birkaç olasılık var. Neden bir kategoriye sahip olduğunuzda bir kategoriye sahip olabilirsiniz?

— Andrej Bauer
kaynak