“Gerçekten zor problemler nerede” durdu mu? Konuyla ilgili güncel fikirler neler?

Bu makaleyi çok ilginç buldum . Özetlemek gerekirse: Uygulamada neden NP-tamamlanmış bir sorunun en kötü durumunu nadiren bulduğunuzu tartışır. Makaledeki fikir, her ikisinin de çözülmesi nispeten kolay olan örneklerin genellikle ya çok ya da çok kısıtlı olduğu. Daha sonra birkaç sorun için “kısıtlılık” ölçüsü önerir. Bu sorunların, 0 çözüm olasılığından% 100 olasılığına 'faz geçişi' olduğu görülüyor. Sonra varsayılır:

1. Tüm NP tamamlanmış (veya hatta tüm NP sorunlarının) sorunlarının bir 'kısıtlılık' ölçüsü vardır.
2. Her NP-eksiksiz problem için, 'kısıtlılığın' bir fonksiyonu olarak var olan bir çözüm olasılığının bir grafiğini oluşturabilirsiniz. Dahası, bu grafik bu olasılığın hızlı ve çarpıcı biçimde arttığı bir faz geçişi içerecektir.
3. NP-komple problemlerin en kötü durum örnekleri, bu faz geçişinde yatmaktadır.
4. Bir problemin bu faz-geçişi üzerine uzanıp yatmadığı, bir NP-tamamlanmış problemin diğerine dönüşmesi altında değişmez.

Bu makale 1991 yılında yayınlandı. Sorum şu son 25 yılda bu fikirler hakkında herhangi bir takip araştırması yapıldı mı? Ve eğer öyleyse, mevcut ana akım onlar üzerinde ne düşünüyor? Doğru buldular mı, yanlış mı, alakasız mı?

İşte Vardi'nin Sonlu ve Algoritmik Model Kuramı (2012) Çalıştayı'nda verdiği sunuma dayanan durumun kaba bir özeti :

Zor vakaların, faz altı kısıtlı bölgeden bölgeye geçiş sürecinde yer aldığı görülmüştür. Temel varsayım, faz geçişleri ile NP problemlerinin hesaplama karmaşıklığı arasında güçlü bir bağlantı olduğu yönündedir.

Achlioptas - Coja-Oghlan, satisfiabe bölgesinde, çözüm alanının üssel olarak birçok küçük kümeye parçalandığı bir yoğunluk olduğunu tespit etti. Vinay Deolalikar geçirmez yaptığı ünlü girişimi bazlı $P \ne NP$ paramparça etme işleminin hesaplama sertliği olduğu varsayımına dayanarak . Deolalikar'ın Kanıtı, XOR- SAT'nın ve paramparça olması nedeniyle çürütüldü . Bu nedenle, paramparça hesaplama işlem sertliğini kanıtlamak için kullanılamaz.$P$

Şu anki ana akım düşünce (Vardi tarafından belirtildiği gibi) faz geçişlerinin hesaplamalı karmaşıklıkla özdeş bir şekilde ilişkili olmadığı görülüyor.

Sonunda, İşte Nature dergisinde yayınlanan bir makale. K-SAT'ın faz geçişleri ile hesaplama sertliği arasındaki bağlantıyı araştıran .

Evet, Cheeseman, Kanefsky ve Taylor'ın 1991 tarihli makalesinden bu yana çok fazla çalışma oldu.

NP-Complete problemlerinin faz geçişleri için yapılan bir aramayı yapmak size birçok sonuç verecektir. Böyle bir inceleme Hartmann ve Weigt [1]. Daha üst düzey bir tanıtım için bkz. Brian Hayes American Scientist makaleleri [2] [3].

Cheesemen, Kanefsky ve Taylor'ın 1991 makalesi, matematik bilimine dikkat etmeyen bilgisayar bilimcilerinin talihsiz bir durumu. Cheeseman, Kanefsky ve Taylor'ın makalesinde, Hamiltonian Döngüsünü, kritik eşiğe yakın arama maliyetinde bir toplama ile faz geçişi olarak tanımladılar. Kullandıkları rasgele grafik modeli Erdos-Renyi rasgele grafiği (sabit kenar olasılığı veya eşdeğerde Gaussian derece dağılımı) idi. Bu vaka, Cheeseman ve arkadaşlarının 1991 makalesinden önce, kritik eşik değerinde veya yakınında bile, bu grafik sınıfı için neredeyse kesin olarak bilinen polinom zaman algoritmalarıyla iyi çalışılmıştır. Bollobas'ın "Rastgele Grafikleri" [4] iyi bir referans. İnanıyorum ki orijinal kanıt, Angliun ve Valiant [5] tarafından Bollobas, Fenner ve Frieze'nin [6] geliştirmeleriyle sunuldu. Cheeseman'dan sonra,

Rasgele Erdos-Renyi rasgele grafiklerinde Hamilton Döngüleri için faz geçişi, bir çözüm bulma olasılığının hızlı bir geçişi olduğu anlamında mevcuttur, ancak bu, Hamilton Döngülerini bulmada “içsel” karmaşıklığın artması anlamına gelmez. Hem teorik hem de pratikte kritik geçişlerde bile Erdos-Renyi rasgele grafiklerinde Hamiltonian Döngüleri bulmak için neredeyse kesin polinom zaman algoritmaları vardır.

Anket yayılımı [8], kritik eşiğin çok yakınında rastgele 3-SAT için tatmin edici örnekler bulma konusunda başarılı olmuştur. Şu anki bilgilerim biraz paslı, bu nedenle kritik eşiğe yakın olan karşılanamayan durumlar için "verimli" algoritmalar bulma konusunda büyük bir ilerleme olup olmadığından emin değilim. 3-SAT, bildiğim kadarıyla, kritik eşiğin yakınında tatmin edici bir durumda tatmin edici ve kritik eşiğin yakınında ise çözülmesinin "kolay" olduğu durumlardan biri, ancak kritik eşiğe yakın bir durumda bilinmiyor.

Bilgim şu an biraz eski ama bu konuya en son baktığımda, bana dikkat çeken birkaç şey vardı:

• Hamiltonian Cycle, Erdos-Renyi'nin rastgele grafikleri için "kolaydır". Bunun için zor problemler nerede?
• Sayı Bölmesi, neredeyse kesin olasılık 0 veya 1 bölgesinde çok uzak olduğunda çözülebilir olmalıdır, ancak ılımlı örnek boyutları için bile verimli algoritmalar mevcut değil (bildiğim kadarıyla, her biri 1000 sayı olan 500 bit) son teknoloji algoritmalar). [9] [10]
• 3-SAT, kritik eşiğin yakınında tatmin edici durumlar için, hatta büyük örnek boyutları (milyonlarca değişken) için bile, ancak kritik eşiğin yakınında karşılanamayan durumlar için zordur.

Herhangi bir meslektaş makalesini yayınlamadığım için buraya eklemek için tereddüt ediyorum ama tezimi yazdımKonuyla ilgili. Ana fikir, "kendinden zor" olan olası bir rastgele topluluk sınıfının (Hamilton Döngüleri, Sayı Bölme Problemi, vb.) "Ölçek değişmezliği" özelliğine sahip olmasıdır. Levy-istikrarlı dağılımlar bu kalite ile daha doğal olan dağıtımlardan biridir, güç yasaları vardır ve bunlardan biri Levy-kararlı dağılımını içeren NP-Komple topluluklarından rastgele örnekler seçebilir. Rastgele grafiklerin Normal dağılım yerine Levy kararlı bir dereceli dağılımla seçilmesi durumunda, rastgele zor Hamiltonian Döngüsü örneklerinin bulunabileceğine dair bazı zayıf kanıtlar verdim (ör. Erdos-Renyi). Başka bir şey değilse, en azından bazı literatür taraması için size bir başlangıç ​​noktası verecektir.

[1] AK Hartmann ve M. Weigt. Kombinatoryal Optimizasyon Problemlerinde Faz Geçişleri: Temel, Algoritmalar ve İstatistiksel Mekanik. Wiley-VCH, 2005.

[2] B. Hayes. En kolay zor problem. Amerikalı Bilim Adamı, 90 (2), 2002.

[3] B. Hayes. Eşikte. Amerikalı Bilim Adamı, 91 (1), 2003.

[4] B. Bollobás. Rastgele Grafikler, İkinci Baskı. Cambridge Üniversitesi Yayınları, New York, 2001.

[5] D. Angluin ve LG Valiant. Hamilton devreleri ve eşleşmeleri için hızlı olasılık algoritmaları. J. Computer, Syst. Sci., 18: 155-193, 1979.

[6] B. Bollobás, TI Fenner ve AM Frieze. Rastgele grafiklerde Hamilton yollarını ve çevrimlerini bulmak için bir algoritma. Combinatorica, 7: 327–341, 1987.

[7] B. Vandegriend ve J. Culberson. Gn, m faz geçişi Hamilton döngüsü problemi için zor değildir. AI Research J., 9: 219-225, 1998.

[8] A. Braunstein, M. Mézard ve R. Zecchina. Anket yayılımı: tatmin edilebilirlik için bir algoritma. Rastgele Yapılar ve Algoritmalar, 27: 201–226, 2005.

[9] I. Gent ve T. Walsh. Sayı bölümleme için sezgisel analiz. Hesaplamalı Zeka, 14: 430-451, 1998.

[10] CP Schnorr ve M. Euchner. Kafes bazında azalma: Geliştirilmiş pratik algoritmalar ve alt küme toplamı problemlerinin çözümü. Hesaplama Teorisinin Temelleri Bildirilerinde '91, L. Budach, ed., Bilgisayar Bilimleri Ders Notları, cilt 529, sayfa 68–85, 1991.

25 yıllık çalışma ve güncel fikirler nerede:

+++ fikir 1:

Memnuniyet çözme konusundaki deneyimimde, pratikte çözmeye çalıştığımız bir formüle geçerli bir k cümlesi eklemenin bir (nk) değişkeni qbf'ye karar vermeyle benzer olduğunu buldum.

NP için şu anki uydu çözme yöntemlerini göstermek zor gibi görünüyor!

+++ fikir 2:

Başka bir fikir, AllQBF'nin probleminin, boole hiyerarşisindeki gerçek bir problem olmasıdır. AllQBF'lerin problemi şudur: Bir formül R'nin tüm 2 ^ nbbf'lerine karar veren bir Boolean ifade Q üretmek. Orijinal formül R monoton veya 2-cnf olduğunda, AllQBF'ler kolaydır.

Tüm QBF'ler, QBF'nin Exp olduğunu göstermek için makul bir yol gibi görünmektedir, çünkü Q genellikle üsseltir, bu nedenle bir Q atamasının değerlendirilmesi (orijinal R formülünün bir nicelemesi) üssel olarak değerlendirilir. Yani, NP'yi kanıtlamaya giden yol Exp'dir.

+++ fikir 3: Düzenli k-cnfs

BT, tüm faz geçiş çalışmalarını kaçırdı Düzenli k-cnfs, değişken (her iki yönde) oluşum sayısı sabit, derece normal grafiklere benzer, normal k-cnfs standart modele göre daha zorlaşıyor, Çünkü tüm değişkenler kendileri üzerindeki kısıtlar açısından aynı görünüyor.

Yirmi beş yıl önce, cheeseman'ı okuduktan hemen sonra, derece değişken grafik renklendirmeye odaklandım, çünkü tüm değişkenler aynı görünüyor. Bu yüzden cevap ayrıcalığımı kötüye kullanacağım ve yirmi beş yıllık sonuçları düzenli grafiklerde sunacağım!

+++ fikir 4: Karşılanabilirlik kıyaslaması çalışmaları için Altın Puan

D düzenli N vertex grafikleri C renklendirme oldukça yoğun çalıştım. Aşağıdaki tablo normal grafik renklendirme için Golden Point sonuçlarını özetlemektedir.

Yüksek Olasılık için, N rastgele örnek tatmin ediciydi. Çok Yüksek için, N ^ 2 tatmin ediciydi. Süper yüksek için N ^ 3 rasgele örnekleri tatmin ediciydi.

Yüksek Olasılık (1 - 1 / N) altın boyama noktaları:

C3D5N180 C4D6N18 C4D7N35 C4D8N60 C4D9N180®; C5D10N25 C5D11N42 C5D12N72

Çok Yüksek Olasılık (1 - 1 / (N ^ 2)) altın renklendirme noktaları:

C3D5N230? C4D6N18 C4D7N36 C4D8N68 C4D9N ??? C5D10N32 C5D11N50 C5D12N78

Süper Yüksek Olasılık (1 - 1 / (N ^ 3)) altın rengi:

C3D5N ??? C4D6N22 C4D7N58 C4D8N72 mi? C4D9N ??? C5D10N38 C5D11N58 C5D12N ??

C4D9 girişi, dokuzuncu derece grafiklerin dört renklenmesini gösterir. Bunlar 25 senedir oturduğum en zor rastgele 4cnfs. Geçenlerde cpu süresinin on gününden sonra 172 tepe dokuzuncu derece grafiğini renklendirdim.

+++ Fikir 5: C5D16N ???? Altın Nokta hafifçe var olduğu varsayılır.

Teşekkürler, Daniel Pehoushek