Bulmaktan daha kolay logaritmik uzunluk tanığı örneği

Kolay bir gözlem, problemi , belirsiz olmayan bitleri (yani, tüm tanıkların logaritmik uzunluğunda) bir polinom-zaman belirsiz olmayan bir program tarafından , o zaman . $A$ $O(\log n)$ $A \in \mathsf{P}$

Eğer biri şu soruyu sorarsa, "Bir tanığı doğrulamak, bir tanığı bulmaktan daha mı kolay?" bu tür problemler için ve kişi tüm polinom çalışma sürelerinin eşdeğer olduğu düşünülürse, cevap hayırdır, çünkü bu tür tanıkları polinom zamanında tüm potansiyel tanıkları arayarak bulabilir.

Peki ya polinom çalışma süreleri arasındaki ince ayrımı göz önüne alırsak? daha kolay logaritmik uzunluktaki tanıklara sahip de doğal bir problemin somut bir örneği olup olmadığını merak ediyorum , "daha kolay" daha küçük bir polinom çalışma süresi anlamına geliyor. $\mathsf{P}$

Örneğin, grafiklerde mükemmel eşleşme için bilinen algoritmalar polinom zamanını alır, ancak düğümlü bir grafikte süresinden daha fazla zaman alır . Ancak çift düğüm kümesi (tanık) verildiğinde, zamanında bunun bir eşleşme olduğunu doğrulamak kolaydır . Ancak, eşleşmenin kendisi kodlamak için bitlerine ihtiyaç duyar . $O(n)$ $n$ $n/2$ $O(n)$ $\Omega(n)$

Tanığın logaritmik uzunluğa sahip olduğu bulgayla karşılaştırmada benzer (belirgin) bir hızlanma sağlayan doğal bir sorun var mı ?

cc.complexity-theory

— Dave Doty
kaynak

Bir bit giriş dizesinin tüm sıfır dizesine eşit olup olmadığını hesaplama sorununu göz önünde bulundurun . Bunu yapmak zaman alır , ancak büyüklüğünde bir tanık ( işaret ederek ) bunu çok daha kolay hale getirir (rasgele erişimli bir makinede).

n

$n$

Θ (n)

$\Theta(n)$

\log n

$\log n$

1

$1$

— Robin Kothari

Rasgele erişim makinesinde en azından doğrusal doğrulama süresi ile ilgili problemleri düşünürsek, soru özellikle ilginçtir. Web.stanford.edu/~rrwill/improved-algs-lbs2.pdf makalesinin 4. Bölümü , belirsizliği ile bile kapsamlı arama üzerinde evrensel bir iyileşme sağlamanın bazı ilginç sonuçlarını vermektedir . (Bölüm 5 bazı koşulsuz alt sınırları bile kanıtlamaktadır.)

O (\log n)

$O(\log n)$

— Ryan Williams

uzunluğunda belirli bir ikili giriş palindrom olup olmadığına karar veren karar problemini göz önünde bulundurun . $x$ $n$

Tek bir bant TM'nin bu sorunu çözmek için en az zaman gerektirdiğine dair oldukça standart bir iletişim karmaşıklığı kanıtı vardır . $O(n^2)$

Diğer taraftan, aynı zamanda, bir ile nondeterministic algoritması kullanarak bu sorunu çözebilir uzunluğu tanık : algoritma kabul her başlangıcından itibaren inci bit değişmesidir sonundan th parçasına . Tanımlama uzunluğu başlangıç veya bitiş inci biti Bit dizisi gerçekleştirilebilir tek bir bant TM zaman. $\log(n)$ $i$ $i$ $x$ $i$ $x$ $i$ $n$ $O(n \log n)$

— Mikhail Rudoy
kaynak

Güzel, temel olarak belirsiz olmayan ve deterministik iletişim karmaşıklığı (iki dizginin eşitliği için) ile belirsiz olmayan ve deterministik tek bantlı TM'lerin ayrılması arasındaki farkı "kaldırıyorsunuz".

— Ryan Williams