Ters Spektrum Problemi Grafik?

Genellikle bir grafik oluşturulur ve daha sonra bitişiklik matrisinin (veya Laplacian gibi bazı yakın akrabaları ) özdeğer ayrışması (ayrıca grafiğin spektrası olarak da adlandırılır) hakkında sorular sorar .

Ama ters problem ne olacak? Verilen özdeğerleri, biri (verimli) bu spektrumlara sahip bir grafiği bulabilir mi? $n$

Genel olarak bunun yapılması zor olduğundan (ve GI'ye eşdeğer olabileceğinden) şüpheleniyorum ama ya bazı koşulları biraz rahatlatırsanız? Çok sayıda özdeğer bulunmaması koşullarını yaparsanız ne olur? Bazı mesafe metriklerinde "yakın" spektrumlara sahip grafiklere izin vermeye ne dersiniz?

Herhangi bir referans veya fikir memnuniyetle karşılanacaktır.

EDIT :

Suresh'in belirttiği gibi, yönlendirilmemiş ağırlıklı grafikleri öz döngülere izin verirseniz, bu sorun oldukça önemsiz hale gelir. Yönlendirilmemiş, ağırlıklandırılmamış basit grafikler setiyle ilgili cevaplar almayı umuyordum, ancak basit ağırlıklandırılmamış yönlendirilmiş grafiklerle de mutlu olacağım.

— user834
kaynak

Bence 'öz döngüsüz ağırlıklandırılmamış yönlendirilmemiş grafikler' sorusunu veya benzeri bir şeyi değiştirmeniz gerekebilir mi? İstenen özdeğerlere sahip bir köşegen matris oluşturmayı ve ağırlıklı öz döngülerle bağlantısız bir grafik olarak ilan etmeyi hayal edebiliyorum.

— Suresh Venkat

Daha basit bir soru (cevabı bilmiyorum) bile, ilk birkaç özdeğerleri verilen basit bağlantılı grafiklerin nasıl oluşturulacağıdır

— Yaroslav Bulatov

Soruyu belirtmenin alternatif bir yolu (basit yönlendirilmemiş grafikleri olan sürüm): n gerçek sayılar (bazı formatlarda) verildiğinde, n özdeğerleri olacak şekilde sıfır köşegenleri olan nx simetrik 0/1 matris olup olmadığına karar verin. verilen numaralar.

— Tsuyoshi Ito

@Yaroslav: Emin değilim, ancak bu problem bana tüm özdeğerlerin verildiği durumdan daha zor geliyor.

— Tsuyoshi Ito

Küçük gözlem: Eğer özdeğerler üzerinde herhangi bir kısıtlama yoksa, sorun gerçekten zor (algoritmik kısmı da içermiyor) çünkü bu , özdeğerlerin tümünün bilinen 57-sıradaki Moore grafiğindeki (olmayan) varlığını ima edecektir .

— Hsien-Chih Chang, 12:10

Yanıtlar:

Cvetcovic et "grafik spektrumun teoride son sonuçların" Bölüm 3.3'de tüm gider bazı özel durumlarda, grafikler verilen spektrum oluşturmak için algoritmalar

— Yaroslav Bulatov
kaynak

Belirli bir spektrumda bir grafiğin var olup olmadığını sormak bile zor bir soru. Buna, 5 çaplı 2 çaplı bir grafiğin olup olmadığını belirleme konusundaki açık problemle ve spektrumu (varsa) bilinen düzen 3250'nin verildiğine şahit olunur.

— Jernej
kaynak

Sorunuzu tanımlamanın diğer bir engelini izospektral (aynı özdeğerler) ancak izomorfik olmayan grafikler olmasıdır. Öyleyse, böyle bir durumda özdeğerlerin bir listesini verdiğinizde, hangi grafiği istersiniz? Belki de sadece böyle bir izomorfik olmayan grafik kümesinin rastgele bir elemanını döndürecek bir algoritma istersiniz?

— dabacon
kaynak

Grafiksel uzaydan örnekleme çizgileri boyunca izospektral bir şey düşünüyordum, ancak bu hızla GI eşdeğeri bir problemin içine düşüyor gibi görünüyor (yukarıdaki yukarıdaki yorumum). Basit olması için, tüm farklı özdeğerleri sınırlayabiliriz (ki, eğer IIC benzersiz bir grafik sağlarsa), ancak gerçekten bilinenleri veya orada ne olduğunu görmeye çalışıyorum.

— user834

Farklı özdeğerlerin yeniden yapılandırılabilirliği sağladığını sanmıyorum, işte 7 düğüm üzerindeki izospektral grafiklerin bazı spektrumlarıdır yaroslavvb.com/upload/save/cstheory-isospectral.png

— Yaroslav Bulatov

Rasgele eleman formülasyonunu seviyorum. GI'ye eşdeğer olup olmadığını bilmek isterim. Rastgele eleman formülasyonuna ilgi duymamın bir nedeni, belirli oyunlardaki Arora ve Steurer ile yazdığım makalede, belirli spektrumlu grafiklerin küçük kümeler için genişletici olup olmadığı sorusudur. Sezgisel olarak, bu spektrumla rastgele bir grafiğin tüm set boyutları için mümkün olan en iyi genişletici olacağını umabilir ve bu nedenle ters spektrumlara ilişkin içgörü orada yararlı olabilir.

— Boaz Barak,

@Yaroslav: Bu bağlantı için teşekkür ederim ve beni düzelttiğiniz için teşekkürler!

— user834,

@ user834: Re: GI eşdeğeri bir sorun hakkında yorumunuz. Sınırlı özdeğer çokluğuna sahip grafiklerin izomorfizmini belirlemek (özellikle çoklu özdeğerleri olmayan grafikler) polinom zamanında yapılabilir.

— Joshua Grochow