Bir girişi değiştirmenin polinom hiyerarşisindeki bir matrisin kalıcılığını azaltıp azaltmadığına karar vermek mi?

Problemimiz bir matris belirli bir $M\in\{-m,\dots,0,\dots,m\}^{n\times n}$ , endeksler $i,j\in\{1,\dots,n\}$ ve bir tamsayıdır $a$ . Yerine $M[i,j]$ ile $a$ yeni matris çağrı . Mı $\hat M$ $per(M)>per(\hat M)$ ?

Bu sorun polinom hiyerarşisinde mi?

permanent

— T ....
kaynak

Bir #P oracle'e iki çağrı ile çözülebilir ... PH'da olsaydı, PP'nin PH'da olduğu anlamına gelir ... Ancak, PP PH'daysa PH çöker. Bence PH'da olması pek mümkün değil.

— Tayfun Pay

@TayfunPay Bu argümanın doğru olduğunu düşünmüyorum. Sorun #P'ye 2 çağrı ile çözülebilir, ancak PH'da gösterilebilecek daha basit bir algoritma olduğu için bu kadar kolay göz ardı edilemez. Bunun için #P için zor olduğunu göstermelisiniz, örneğin Kalıcı'yı azaltarak.

— Jan Johannsen

Kalıcı tanımını takarsanız ve ortaya çıkan eşitsizliği basitleştirirseniz, probleminiz belirli bir (n-1) -by- (n-1) matrisinin kalıcılığının kesinlikle olumlu olup olmadığı sorusuna düşer.

— Gamow

P E R (M) > 0

$PER(M) > 0$

M

$M$

M^{'}

$M'$

M^{″}

$M''$

M^{'}

$M'$

- 1

$-1$

P E R (M^{″}) = - P E R (M^{'}) = - P E R (M)

$PER(M'') = -PER(M') = -PER(M)$

P E R (M) > 0

$PER(M) > 0$

M^{'}

$M'$

(i, j) = (0, 0)

$(i,j) = (0,0)$

a = - 1

$a = -1$ true değerini döndürür.

— holf

@holf: Sanırım bunu bir cevap olarak göndermelisin. Soruyu oldukça kesin bir şekilde cevaplıyor ve daha sonra soru artık "cevapsız" olarak görünmeyecek.

— Joshua Grochow

Probleminiz olsun, teste eşdeğerdir . $M$ $PER(M) > 0$

İspat : Size verildiğini ve olup olmadığına karar vermek istediğinizi varsayın . Bu yapı aşağıdaki gibidir: It olduğunu görmek kolaydır . Şimdi tanımlama, olmak biz yerine burada girişini tarafından . Çok . Böylece ise ve sadece $M$ $PER(M) > 0$ $M'$

[\begin{matrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 \\ \dots & M \\ 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & & & & \\ \dots & & M & &\\ 0 & & & & \end{bmatrix}$

P E R (M) = P E R (M^{'})

$PER(M) = PER(M')$

\hat{M^{'}}

$\hat{M'}$

M^{'}

$M'$

(0, 0)

$(0,0)$

M^{'}

$M'$

- 1

$-1$

P E R (M) = P E R (M^{'}) = - P E R (\hat{M^{'}})

$PER(M) = PER(M') = -PER(\hat{M'})$

P E R (M) > 0

$PER(M) > 0$

P E R (M^{'}) > P E R (\hat{M^{'}})

$PER(M') > PER(\hat{M'})$

Şimdi size , ve verildiğini varsayın ve sorunuzda olduğu gibi tanımlayın , yani değerini . Biz var $M$ $(i,j)$ $a$ $\hat{M}$ $M[i,j]$ $a$

\begin{aligned} P E R (M) > & P E R (\hat{M}) iff \\ \sum_{σ} \prod_{k = 1}^{n} M [k, σ (k)] > & \sum_{σ} \prod_{k = 1}^{n} \hat{M} [k, σ (k)] iff \\ \sum_{σ, σ (i) = j} M [i, j] \prod_{k \neq i}^{n} M [k, σ (k)] > & \sum_{σ, σ (i) = j} a \prod_{k \neq i}^{n} M [k, σ (k)] iff \\ (M [i, j] - a) \cdot \sum_{σ, σ (i) = j} \prod_{k \neq i}^{n} M [k, σ (k)] > & 0 iff \\ (M [i, j] - a) \cdot P E R (M^{'}) > 0 \end{aligned}

$\begin{align} PER(M) > & PER(\hat{M}) \text{ iff} \\ \sum_{\sigma} \prod_{k=1}^n M[k,\sigma(k)] > &\sum_{\sigma} \prod_{k=1}^n \hat{M}[k,\sigma(k)] \text{ iff} \\ \sum_{\sigma, \sigma(i)=j} M[i,j] \prod_{k \neq i}^n M[k,\sigma(k)] > &\sum_{\sigma, \sigma(i)=j} a \prod_{k \neq i}^n M[k,\sigma(k)] \text{ iff}\\ (M[i,j]-a) \cdot \sum_{\sigma, \sigma(i)=j} \prod_{k \neq i}^n M[k,\sigma(k)] > & 0 \text{ iff}\\ (M[i,j]-a) \cdot PER(M') > 0 \end{align}$

burada , satırını ve sütununu çıkararak elde edilen matrisidir . $M'$ $(n-1) \times (n-1)$ $M$ $i$ $j$ $\square$

— holf
kaynak

İyi cevap, ama muhtemelen OP'nin sorusunun cevabını açıkça belirtmeye değer.

— Stella Biderman