En fazla minimum DFA sayısı

İzin Vermek $\Sigma$ bir alfabe olmak $2$ ve boyutu en fazla sınırlı olan minimum DFA'ları düşünün $m$ . İzin Vermek $f(m)$ "Bu tür farklı minimal DFA'ların sayısını belirtir."

İçin kapalı form formül bulabilir miyiz $f(m)$ ?

Bunu göz önünde bulundurarak $|\Sigma|=2$ en fazla DFA boyutunun geçiş fonksiyonu $m$ bir grafiktir. Düğümlerin derecesi, $2$ , her düğüm için $m^2$ ark çiftlerinin olasılıkları (yorumlarda önerildiği gibi). Bu grafikte en fazla $m$ olası başlangıç durumu seçimleri ve en fazla $2^m$ nihai hal kümelerinin olası seçimleri. Böylece, maksimum DFA sayısı en fazla $m$ dır-dir $f(m) \leq m^{2m}\cdot m\cdot2^m = 2^m\cdot m^{2m+1}$ .

Rasgele bir alfabeye genelleme yapabiliriz $\Sigma$ : sınır olur $f(m) \le 2^m\cdot m^{|\Sigma|m+1}$ .

Ancak burada keyfi DFA'ları sınırladık ve minimum DFA sayısını sınırlamakla ilgileniyorum. Böylece, bu sınır daha sıkı olabilir gibi görünüyor ... Birisi daha iyi bir tahmin var mı?

Mümkünse, bu sorunla ilgili bazı makaleler veya bir kanıt / karşı örnek takdir ediyorum.

— Luz
kaynak

Üst sınırınızın doğru olduğunu düşünmüyorum. Olması gerektiği gibi görünüyor

f (m) \leq m \times 2^{m} \times m^{2 m}

$f(m) \le m \times 2^m \times m^{2m}$ , ziyade

f (m) \leq m \times 2^{m} \times 2^{2 m}

$f(m) \le m \times 2^m \times 2^{2m}$ . Her düğüm için, bu düğümden çıkan iki yayı düşünün; var

m

$m$ ilk arkın nereye gittiğine dair olasılıklar ve

m

$m$ ikinci arkın nereye gittiğine dair olasılıklar,

m^{2}

$m^2$ toplam olasılıklar. Var

m

$m$ düğümler, bu yüzden elde ederiz

(m^{2})^{m} = m^{2 m}

$(m^2)^m = m^{2m}$ yay seti için olanaklar. Genelleme

f (m) \leq m \times 2^{m} \times m^{| Σ | m}

$f(m) \le m \times 2^m \times m^{|\Sigma| m}$ .

— DW

İşte Alakalı olabilecek bir referanstır: - "farklı dil KABUL SONLU OTOMATLAR İLE n devlet sayısına" citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.8.2838

— Michael Wehar

Her ikinize de hatamı düzelttiğiniz ve bana gerçekten uygun olan bu referansı verdiğiniz için teşekkür ederiz.

— Luz

Yanıtlar:

Ishigami Y., Tani S. (1993) n eyaletli sonlu otomatanın VC boyutları, http://link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-57370-4_58 , VC boyutu konsept sınıfı $n$ büyüklüğünde bir alfabe üzerinde büyük boyutlu DFA'lar $k$ dır-dir

d = d (n, k) := (k - 1 + o (1)) n \log_{2} n .

$d=d(n,k) := (k-1+o(1))n\log_2 n.$ En azından

2^{d}

$2^d$ farklı

n

$n$ -tata durumu otomatik

k

$k$ harfli alfabe. Bu otomata sayısının üst sınırı, basit bir sayım argümanından (makalede verilen) kaynaklanmaktadır ve en fazla

2^{d}

$2^d$ .

— Aryeh
kaynak

Teşekkürler. Cevabınızdan anlıyorum ki

m^{(| Σ | - 1 + o (1)) m}

$m^{(|\Sigma| - 1 + o(1)) m}$

m

$m$ -DFA'lar (en azından ve en fazla). Ancak asgari DFA'ları saymakla ilgileniyorum. Bu yüzden üst sınırınız cevabımda verilenle çelişmiyor, değil mi?

— Luz

Bence bu en az DFA sayıyor, VC boyutu temsilden bağımsız olduğu için aslında farklı dilleri sayıyor - bu da en az DFA'lara karşılık geliyor.

— Aryeh

oh :( sonra bağın benimkiyle çelişiyor ... çünkü benimkinin büyük bir paydası var

(m - 1)!

$(m-1)!$ bu da sizinkinin çok altında ... nasıl geliyor ??

— Luz

Tam olarak çelişki görmüyorum - büyük payda

(m - 1)!

$(m-1)!$ hala bataklık

m^{m}

$m^m$ payda.

— Aryeh

Aslında, Thm kanıtına bakarsanız. Bağladığım makalede 3.2, paydada tam ifadeyi göreceksiniz.

— Aryeh

(Not: Kabul edilen cevapta verilen üst sınır, burada verilene daha iyi veya eşittir)

Önceki yorumlardan birinde verilen bu makalede bir üst sınır önerilmiştir: “ n devletli sonlu otomata tarafından kabul edilen farklı dillerin sayısı ” (2002, M. Domaratzki, D. Kisman, J. Shallit) .

Bu sayfada:

$f_{|\Sigma|}(m)$ fonksiyonu, farklı izomorfik olmayan minimal DFA'ların sayısını sağlar . $m$ -bir ${|\Sigma|}$ -terter alfabesi ,
$g_{|\Sigma|}(m)$ işlevi, DFA'lar tarafından kabul edilen farklı dillerin sayısını verir . $m$ üzerinde bir ${|\Sigma|}$ harfli alfabe .

İçin üst sınır ilgileniyoruz $g_{|\Sigma|}(m)$ fonksiyon, sorum en az DFA sayısının üst sınırını istediğinden, $m$ devletler (ve tam olarak değil $m$ ).

Sayfadan ne anlıyorum $6$ Teoremin altında $8$ bu mu $g_{|\Sigma|}(m) \leq \frac{2^m\cdot m^{|\Sigma|m}}{(m-1)!}$ bu benim sorumda verilenden daha iyi bir bağ (yani $2^m\cdot m^{|\Sigma|m+1}$ ). Bu kısmen soruma cevap veriyor.

Ancak makale, bu üst sınırın önemsiz olduğunu ve geliştirilebileceğini iddia ediyor. Ancak, iyileştirme yalnızca $f_{|\Sigma|}(m)$ (anladığım kadarıyla).

— Luz
kaynak