Ramsey'in set koleksiyonu için teoremi

Dağıtılmış algoritmalar için daha düşük sınırları kanıtlamanın farklı tekniklerini incelerken, Ramsey'in teoreminin aşağıdaki varyantının uygulamaları olabilir - eğer doğruysa.

Parametreler: , , verilir ve daha sonra yeterince büyük olacak şekilde seçilir. Terminoloji: alt kümesi, boyutunun bir alt kümesidir .$k$$K$$n$$N$$m$$m$

• Let .$A = \{1,2,...,N\}$
• Let tüm oluşur bir -subsets .$B$$k$$A$
• Let tüm oluşur arasında -subsets .$C$$K$$B$
• Ata bir renklendirici arasında .$f\colon C \to \{0,1\}$$C$

Şimdi (hypergraph versiyonu) Ramsey teoremi seçtiğimiz nasıl olursa olsun söylüyor , bir orada tek renk -subset arasında : Bütün arasında -subsets aynı renge sahiptir.$f$ $n$$B'$$B$$K$$B'$

Ben bir adım daha ileri gidip bir tek renkli bulmak istiyoruz -subset ait : eğer tüm oluşur bir -subsets'sonra tüm arasında -subsets aynı renge sahiptir.$n$$A'$$A$$B' \subset B$$k$$A'$$K$$B'$

Bu doğru mu yanlış mı? Bir adı var mı? Herhangi bir referans biliyor musunuz?

Bazı önemsiz nedenlerden dolayı yanlışsa, bu iddiayı andıran daha zayıf bir varyant var mı?

Sorunun sadece k, K'nin her ikisi de 1'den büyük olduğunda önemsiz olmadığı gözlemlendi; k = 1 veya K = 1 için, sadece n için geçerli olan normal Ramsey teoremi. Ayrıca, sadece select > K olduğu durumla ilgilenmeliyiz , aksi takdirde teorem doğrudur çünkü bir n-alt kümesi A 'tarafından inşa edilen en fazla select -B' alt kümesi vardır. A${n \choose k}$${n \choose k}$

İlk önce teoremin tüm k> 1, K> 1 için yanlış olduğunu kanıtlıyoruz ve herhangi bir n, > K> ' karşılar .${n \choose k}$$({n-1 \atop k})$

Karşı örnek oluşturmak için, herhangi bir büyük N ve A = [N] için, A 'nın tüm n-alt kümesi A' için, eğer B ', A' nın tüm k-alt-gruplarından oluşacak şekilde bir renklendirme fonksiyonu inşa etmeliyiz. , B 'nin K-alt-gruplarının bazıları farklı renklere sahiptir. Burada aşağıdaki gözlemimiz var:

Gözlem 1. k, K> 1 ve > K> , B'nin herhangi bir K-alt kümesi, tarafından oluşturulan en fazla bir B 'değerinin bir alt kümesidir. A'nın n-alt kümesi A '.${n \choose k}$$({n-1 \atop k})$

Gözlem, hipergraflar olarak temsil edilebilir. A'nın G grafiğinin düğümleri olmasına izin verin, A'nın n-altkümesi A ', G'deki tam bir n-altgrafının düğüm kümesidir. B', tam altgraftaki k-hipergezerler kümesidir (2-hiperge, normal kenar) ve B 'nin K-alt kümeleri, toplamda , burada | B '| = ) toplamıdır. . Gözlem şu şekildedir: G'deki herhangi bir hipergege K-dizisi, en az bir tam n-alt grafiğe aittir ; bu, herhangi bir ikisinin tamamlanması nedeniyle, select > K> için açıktır. n-alt-çizgileri en fazla n-1 düğümü ile kesişir, en fazla hipergege ile.$({|B'| \atop K})$${n \choose k}$${n \choose k}$$({n-1 \atop k})$$({n-1 \atop k})$

Daha sonra n-altkümesi A 'ile oluşturulmuş belirli bir B' nin K-alt kümeleri C 'içinde farklı renkler atayabiliriz, çünkü C' deki herhangi bir eleman bir n-altkümesi tarafından oluşturulmuş B '' nin başka bir K-altkümesi olarak oluşmaz. A ''. A'nın herhangi bir n-alt kümesi tarafından oluşturulmayan B'nin herhangi bir K-alt kümesi için, üzerine rastgele renk atarız. Şimdi f renklendirme fonksiyonuna sahibiz, A'nın n-altkümesi tarafından inşa edilen hiçbir B 'tek renkli değildir, yani B' nin K-alt-gruplarının bazıları farklı renklere sahiptir.

Daha sonra teoremin tüm k> 1, K> 1 için de yanlış olduğunu ve n'nin > K'yi karşıladığını gösteriyoruz . Burada tek fark n çok büyük seçilebilir, K> doğru değildir. Ancak başka bir basit gözlemle:${n \choose k}$$({n-1 \atop k})$

Gözlem 2. A'nın n-alt kümesi A 'ile oluşturulan bir B' tek renk ise, o zaman n '<n için A' nın bir n'-alt kümesi A '' tarafından inşa edilen her B '' aynı zamanda monokromatiktir.

Bu nedenle, teoremin daha büyük n üzerinde olduğunu varsayabilir, ikinci gözlemi uygulayabilir ve n 'tatminlerini ayarlayarak > K> ; bu n ', > K ve K> , n' nin n ve k + 1 arasında olması gerektiği gerçeğiyle var olmalıdır.$({n' \atop k})$$({n'-1 \atop k})$$({n \atop k})$$({k \atop k})$