Etkili bir grafikte 5 döngüyü verimli bulmak.

(MathOverflow kaynağından çapraz yazılmış)

Merhaba,

Bu konuyu okuyordum: /mathpro/16393/finding-a-cycle-of-fixed-length

Bir grafikte 5 döngü bulmak istiyorum. Aslında asıl istediğim, en az 5 en kısa tuhaf uzunluk döngüsü, ama belki de bu konunun biraz ötesinde. Amaçlarım için, karmaşıklık analizinde ve aynı şekilde davranıyorum . $m$ $n$

Bu durumda 5 döngü bulmak için renk kodlamadan daha iyisini yapabilir miyiz? Soruma özel bir formülasyon vereyim:

Asgari nedir, öyle ki, 5 uzunluğundaki bir döngüyü tespit etmek için zamanlı bir algoritma olsun diye? Algoritma nedir? Ve Coppersmith-Winograd hızlı matris çarpımı gibi pratik yöntemleri yasaklarsanız bu nedir? $\alpha$ $O(m^\alpha)$ $\alpha$

— Andrew D. King
kaynak

MO'dan çapraz yayın .

— Hsien-Chih Chang張顯之

Grafiklerinizin seyrek olmak dışında özel bir yapısı var mı? (Örneğin düşük yozlaşmışlık gibi.)

— Robin Kothari,

Hayır, grafiği istediğiniz kadar şeytani yapabilirsiniz. Aslında grafiğin seyrek olup olmadığına aldırmıyorum bile:

bir çizgi grafiği (

ve bunun altında yatan grafik

olduğunu düşünüyorum ki

(

basit olduğunu varsayabiliriz ). Davranış sebebim

Aynısı ben biliyorum

G

$G$

H

$H$

G = L (H)

$G=L(H)$

H

$H$

| E (H) |

$|E(H)|$

| V (H) |

$|V(H)|$

| E (H) | = | V (G) |

$|E(H)|=|V(G)|$ ve ben karmaşıklığı açısından analiz etmek istiyorum

, ama nasıl bir şey söyleyemem

ile karşılaştırır

| V (G) |

$|V(G)|$

| E (G) |

$|E(G)|$

| E (H) |

$|E(H)|$

| V (H) |

$|V(H)|$

— Andrew D. King,

Açık olmak gerekirse, döngü tekrarlanan köşeler içeriyorsa sorun değil, doğru mu?

— user834

Tekrarlanan köşelere izin vermem, ancak 5 döngü için önemli değil çünkü grafiğin basit olduğunu ve bu nedenle 2 döngü olmadığını varsayalım.

— Andrew D. King

Mihai'nin cevabına eklemek için:

$k$ $O(mn)$

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.101.4120

$O(m^{1.67})$

Ayrıca, 5-döngü algılamayı Boolean matris çarpımına (sabit faktör ek yüke) indirgemek çok zor olmasa da, renk kodlama kağıdında zıt yöndeki bir azalma görünmez. Boolean matris çarpımından 5 döngü saptamaya (çalışma zamanının karmaşıklığını koruyan) sıkı bir azalma bilinmemektedir.

— Ryan Williams
kaynak

Yoğun durum esasen renk kodlamasıyla boolean matris çarpımına eşdeğerdir. Bkz http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.103.5167&rep=rep1&type=pdf .

$O(mn)$

— Mihai
kaynak

Teşekkür ederim! Erişebildiğimde Monien gazetesine bir göz atacağım.

— Andrew D. King