Köklü bir ağaçta polinom boyutuna sahip "kısa" yolların sayısına alt sınır

Let $T$ bir köklü ikili ağaç olmak. kökünden bir yaprağa giden her yolun uzunluğu . Her düğümü her zaman bir sol ve bir sağ alt düğüme sahiptir, ancak bunların aynı olması mümkündür (Yani her zaman yol vardır). büyüklüğü ile sınırlıdır . Farklı alt düğümleri olan bir düğüme dallanma düğümü denir .n T 2 $T$$n$$T$$2^n$O ( p o l y ( n ) $T$$O(poly(n))$

Bir paylaşılan dallanma düğümü varsa ve bir yol sol alt düğüme, diğer yol sağ alt düğüme giderse iki yolun farklı olduğunu söylüyoruz. dallanan düğümlere sahip en az bir yol olduğu açıktır . Aksi halde çok fazla düğüm olurdu .O ( log n ) $T$$O(\log n)$$T$

Ağaçta dallanma düğümleri olduğunu biliyorsanız , dallanma düğümlerine sahip yolların sayısında daha iyi bir alt sınır var mı?ω $O(\log n)$$\omega(\log n)$

Alt sınır, ağaçta en az Ω ( log n ) dallanma düğümünüz varsa, O ( log n ) dallanma düğümlerine sahip yollardır .$\Omega(\log n)$$O(\log n)$$\Omega(\log n)$

Bu elde edilebilir: tüm düğümleri dallanma düğümleri olan ve ağaçta başka dallanma düğümleri olmayan bir uzun yola (uzunluk ) sahip bir ağaç kullanın.$n$

İşte alt sınırın bir taslağı.

İlk olarak, dallanma düğümü olmayan herhangi bir iç düğümü büzerek ağacı sıkıştırın. Ağacın orijinal boyut olsaydı , yeni ağaç hala olmalıdır < n c yalnızca düğümlerin sayısını azalttı beri. Şimdi, bir yaprağın derinliği o yaprağa giden orijinal yoldaki dallanma düğümlerinin sayısıdır ve tam bir ikili ağaca sahibiz (her düğümün derecesi 2 veya 0'dır).$< n^c$$< n^c$

Derinlik yaprakları yoksa, yol sayısı Ω ( log n ) olan dallanma düğümü sayısından bir fazladır , bu nedenle en az bir yaprağın derinliği Ω ( log ( log) olduğunu varsayabiliriz. n ) .$\Omega(\log n)$$\Omega(\log n)$$\Omega(\log n)$

Ardından, Kraft'ın eşitsizliğini hatırlayın. Tam bir ikili ağaçtaki yaprağın derinliği , Σ v l e a f 2 - d ( v ) = 1 olur .$d(v)$$\Sigma_{v \mathrm{\ leaf}} 2^{-d(v)} = 1$

Şimdi, daha az yaprak var. Bunların çoğunun O derinliğinde olduğunu göstermek istiyoruz ( log n ) . En azından log 2 ( n c + 1 ) = ( c + 1 ) log 2 n derinliği olanları göz ardı ettiğimizi varsayalım . Bu , Kraft eşitsizliğindeki toplam ağırlıktan en fazla 1 / n çıkarır , bu nedenle v'yi en fazla d ( v ) ≤ ( c $n^c$$O(\log n)$$\log_2(n^{c+1}) = (c+1) \log_2 n$$1/n$$v$ , elimizdeki Σ v l O a d e s t h l e bir ön 2 - d ( v ) > 1 - $d(v)\leq (c+1) \log_2 n$ . Ayrıca varΣvlOadesthlebirön2-d(v)<1(en azından bir yaprak bu toplama dahil edilmesi için çok büyük bir derinliğe sahip olduğundan).$\sum_{v\mathrm{\ low \ depth \ leaf}} 2^{-d(v)} > 1-\frac{1}{n}$$\sum_{v\mathrm{\ low\ depth\ leaf}} 2^{-d(v)} < 1$

sayılarının toplamının 1 ile 1 - 1 arasında olduğunu göstermek oldukça kolaydır.$2^{-k}$$1$ , en az2ngünlüğeihtiyacımız var. Bu,O(logn)dallanan düğümleresahipΩ(logn)yollarınolduğunu gösterir.$1-\frac{1}{n}$$\log_2 n$$\Omega(\log n)$$O(\log n)$