PSPACE'i polinom hiyerarşisinden ayıran minimum karmaşıklık kehaneti nedir?

Arka fon

Bir torpil var olduğu bilinmektedir $A$ öyle ki, $PSPACE^A \neq PH^A$ .

Ayrılmanın rastgele bir kehanete göre olduğu bile bilinmektedir. Gayri, bir çok sayıda ürün kahinler olduğu anlamına bu yorumlayabilir $PSPACE$ ve $PH$ ayrıdır.

Soru

Karmaşık nasıl ayrı bu Kehanetlerini olan $PSPACE$ ile ilgili $PH$ . Özel olarak, bir torpil olduğu $A \in DTIME(2^{2^{n}})$ , böylece $PSPACE^A \neq PH^A$ ?

Herhangi bir torpil var mı $A$ şekilde $PSPACE^A \neq PH^A$ ve $A$ , bilinen bir karmaşıklık üst bağlandığı?

Not: Böyle bir kâhin varlığının yapısal karmaşıklık teorisinde sonuçları olabilir. Daha fazla ayrıntı için aşağıdaki güncellemeye bakın.

Alt sınır tekniğiyle ilgili ayrıntılarla güncelleme

İddia: Eğer , tüm bilicilikte için bir ∈ P / s O l y , p S P A Cı- e bir$PSPACE = PH$$A \in P/poly$ .$PSPACE^A = PH^A$

Prova Çizimi: Varsayalım ki .$PSPACE = PH$

Bir kehanet verilsin. Belirli bir n uzunluğu için p ( n ) büyüklüğünde bir devreyi varoluşsal bir kantifikasyon kullanarak tahmin eden ve devrenin A ile karar sonucunu ve sorgu sonucunu karşılaştırarak doğrulayan bir polinom zamanı Σ 2 oracle Turing makinesi M oluşturabiliriz evrensel bir nicelemeyi kullanarak her uzunluk n string için.$A \in P/poly$$\Sigma_2$$M$$n$$p(n)$$A$$n$

Ayrıca, nicel bir Boole devresi (QBC) olarak adlandırdığım ve nicel bir boole devresi verildiği ve geçerli olup olmadığını bilmek istediğiniz bir karar sorununu düşünün (QBF'ye benzer). QBF PSPACE-tamamlandığından bu sorun PSPACE-tamamlandı.

Varsayımsal olarak, o QBC izler . Diyelim ki yeterince büyük bazı k için Q B C ∈ Σ k . N olsun$\in PH$$QBC \in \Sigma_k$$k$$N$ bir polinom zamanlı belirtmek çözer QBC olduğunu Turing makinesi.$\Sigma_k$

Biz hesaplamasını içe olabilirse ve N bir polinom zaman almak (Karp-Lipton teoreminin kanıtı yapılanlara benzer) Σ k oracle Turing makinesi çözer o Q B C A .$M$$N$$\Sigma_k$$QBC^A$

Gayri resmi olarak, bu yeni makine girdi olarak bir oracle QBC (yani oracle kapıları olan bir QBC) alır. Daha sonra, n uzunluğu girişlerinde (aynı anda ilk iki nicelleştiriciyi ayırır) hesaplayan bir devre hesaplar . Daha sonra, oracle QBC'deki oracle kapılarını A devresi ile değiştirir . Son olarak, bu modifiye edilmiş örnek üzerinde Q B C'yi çözmek için polinom time Σ k algoritmasının kalanını uygulamaya devam eder .$A$$n$$A$$\Sigma_k$$QBC$

Şimdi, koşullu alt sınırı gösterebiliriz.

Sonuç: bir torpil var ise , öyle ki p S P A Cı- e bir ≠ P , H A ve ardından N E X- P ⊈ P / s O l y .$A \in NEXP$$PSPACE^A \neq PH^A$$NEXP \nsubseteq P/poly$

Korumalı Kroki: var olduğunu varsayalım , öyle ki p S P A Cı- e bir ≠ P , H bir . Eğer K E X- P ⊆ P / s O l y , o zaman bir çelişki olsun.$A \in NEXP$$PSPACE^A \neq PH^A$$NEXP \subseteq P/poly$

Özel olarak, , daha sonra istem biz yukarıda bahsedilen anlama sahiptir P S P A Cı- e ≠ p H . Bununla birlikte, bilinen K E X- P ⊆ P / s O l y ima P S P A Cı- e = P , H .$NEXP \subseteq P/poly$$PSPACE \neq PH$$NEXP \subseteq P/poly$$PSPACE = PH$

( P / poly için bilinen sonuçlarla ilgili bazı ayrıntılar için buraya bakın )

I believe if you trace through the argument given, e.g., in Section 4.1 of Ker-I Ko's survey, you get an upper bound of $\mathsf{DTIME}(2^{2^{O(n^2)}})$. In fact, we can replace $n^2$ here with any function $nf(n)$ where $f(n) \to \infty$ as $n \to \infty$. This isn't quite what was asked for, but it's close.

In particular, using the translation between oracle separations and circuit lower bounds, and following Ko's notation, we have the following:

• We will diagonalize over strings of length $t(n) = p_n(m(n))$ where $p_n(x) = x^n + n$ is "the" $n$-th polynomial (in some enumeration of poly-time algorithms) and $m(n)$ will be specified below.

• Translating into circuit lower bounds, this means we're considering bounded-depth circuits on $2^{t(n)}$ inputs.

• The requirement (see p. 15 of Ko) we need $m(n)$ to satisfy $\frac{1}{10} 2^{m/(d-1)} > d p_n(m(n))$ for all $n$. Here $d$ is the depth of the circuits we want to diagonalize against, or equivalently the level $\mathsf{\Sigma_d^p}$ of $\mathsf{PH}$ we want to diagonalize against. To diagonalize against all of $\mathsf{PH}$, simply choose $d$ to be a function of $n$ that is $\omega(1)$; we may choose such a $d$ that grows arbitrarily slowly, though (perhaps subject to some computability assumption on $d(n)$, but that should be no obstacle). If we make the guess that $d(n)$ is constant (even though it's not, but it will grow arbitrarily slowly), then we see that $m(n)$ around $2^n$ should work.

• This means that $t(n) \sim 2^{n^2}$, so we are looking for a lower bound against circuits with $\sim 2^{2^{n^2}}$ inputs.

• Trevisan and Xue (CCC '13) showed that one can find an assignment on which a given bounded-depth circuit on $N$ inputs doesn't compute PARITY with a seed of $polylog(N)$ length.

• For us $N=2^{2^{n^2}}$, so $polylog(N) = 2^{O(n^2)}$. We can brute force over such seeds in $2^{2^{O(n^2)}}$ time and use the first one that works.

To replace the $n^2$ with $nf(n)$, just let $p_n(x) = x^{f(n)} + f(n)$ instead.

Interestingly, if I'm understanding correctly, I believe this implies that if one could improve the Trevisan-Xue...

• ...to a pseudodeterministic/Bellagio algorithm (see Andrew Morgan's comment below), one would get that $\mathsf{BPEXP} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$; or

• ...to a nondeterministic algorithm that guessed $polylog(N)$ bits but then ran in $poly(N)$ time, and such that on any accepting path it makes the same output (cf. $\mathsf{NPSV}$), it would imply $\mathsf{NEXP} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$; or

• ... to a deterministic algorithm, one would get $\mathsf{EXP} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$.

On the one hand, this suggests why derandomizing the switching lemma further should be hard - an argument which I'm not sure was known before! On the other hand, this strikes me as a kind of interesting take on hardness versus randomness (or is this actually a new thing, oracles versus randomness?).