Doğrusal zamanda “neredeyse sıralama” tam sayıları

Pozitif tamsayı değerleri dizisi doğrusal zamanda sıralamakla ilgileniyorum (tek tip maliyet ölçülü RAM modelinde, yani tamsayılar logaritmik boyuta sahip olabilir, ancak aritmetik işlemlerin alınacağı varsayılır birim zaman). Tabii ki, bu karşılaştırma tabanlı sıralama algoritmaları ile imkansız, bu yüzden bir "yaklaşık" sıralama, yani bazı permütasyon hesaplamak ilgileniyorum bir gerçekten genel olarak sıralanmadığından hangi fakat sıralı versiyonunun "iyi yaklaşım" . Tamsayıları azalan düzende sıraladığımızı varsayacağım, çünkü neticeyi belirtmek biraz daha hoş hale getiriyor, ancak elbette biri sorunu başka bir şekilde ifade edebilir.$L = v_1, \ldots, v_n$$v_{\sigma(1)}, \ldots, v_{\sigma(n)}$$L$$L$

Yaklaşık bir sıralama için bir muhtemel kriter, aşağıdaki (*): izin olmak her için , o gerektiren (örneğin, "yarı sıralama" listesi yukarıdan ). Gerçek sıralamanın bunu karşıladığını görmek kolaydır: den daha büyük olmamalıdır , bu yüzden en fazla olan ve genel olarak , olan$N$$\sum_i v_i$$1 \leq i \leq n$$v_{\sigma(i)} \leq N/i$$i \mapsto N/i$$v_{\sigma(2)}$$v_{\sigma(1)}$$(v_{\sigma(1)} + v_{\sigma(2)})/2$$\leq N/2$$v_{\sigma(i)}$$(\sum_{j \leq i} v_{\sigma(i)})/i$$\leq N/i$.

Örneğin, gereksinim (*) aşağıdaki algoritma ile elde edilebilir (@Louis tarafından önerilir). Benim sorum: Gerçek türün tatmin edeceği (*) gibi bazı şartlar getirerek, “neredeyse tamsayıları lineer zamanda sıralama” görevi üzerinde mevcut bir çalışma var mı? Aşağıdaki algoritmanın veya bunun bazı varyantlarının yerleşik bir adı var mı?

Düzenleme: algoritma düzeltildi ve daha fazla açıklama eklendi

Algoritma:

INPUT: V an array of size n containing positive integers
OUTPUT: T

N = Σ_{i<n} V[i]
Create n buckets indexed by 1..n
For i in 1..n
| Add V[i] into the bucket min(floor(N/V[i]),n)
+

For bucket 1 to bucket n
| For each element in the bucket
| | Append element to T
| +
+

Bu algoritma aşağıdaki nedenlerle amaçlandığı gibi çalışır:

1. Bir eleman ise kova içinde j Daha sonra V ≤ N / j . $v$$j$$v ≤ N/j$

   $v$ kovaya yerleştirilir$j=\min(N/v,n)$ , bu nedenle$j ≤ \lfloor N/v\rfloor ≤ N/v$

2. Bir eleman ise kova içinde daha sonra ya veya . $v$$j$$N/(j+1) < v$$j=n$

   $v$j = dakika ( N / hac , n ) j = ⌊ N / hac ⌋ j = n j = ⌊ N / hac ⌋ J ≤ N / hac < j + 1 N / ( j + 1 ) < v kovaya , bu nedenle veya . İlk durumda yani ve dolayısıyla .$j=\min(N/v,n)$$j = \lfloor N/v \rfloor$$j=n$$j=\lfloor N/v\rfloor$$j ≤ N/v < j+1$$N/(j+1) < v$

3. İçin , orada, en az, kova elemanları 1 ila .$j<n$$j$$j$

   Bırakın ve , kovalardan birinde bulunan toplam eleman sayısı 1. olsun. J. Tarafından 2. her elemanı, var bir kova ile ( ) şekildedir . Bu nedenle, toplam gelen kova bütün elemanların için daha büyük olan . Ancak bu toplam da azdır, bu nedenle bize veya veren ve dolayısıyla .$j<n$$k$v i i ≤ j N / ( j + 1 ) ≤ N / ( i + 1 ) < v$v$$i$$i ≤ j$$N/(j+1)≤N/(i+1)<v$$K$$1$$j$$k×N/(J+1)$$K$$N$$k×N/(j+1) < K ≤ N$$k/(j+1) < 1$$k<j+1$$k≤j$

4. $T$ tatmin (*), yani ait inci elemanı gibi olduğu$j$$T$$T[j] ≤ N/j$

   Tarafından 3. o sahip , ve inci elemanı , bir kova gelen ile Bu nedenle .$T[j]$$j$$T$$i$$i ≥ j$$T[j] ≤ N/i ≤ N/j$

5. Bu algoritma doğrusal zaman alır.

   hesaplanması doğrusal zaman alır. Kovalar yerleştirme ve yinelemeye sahip bağlantılı bir listeyle uygulanabilir . Yuvalanmış döngü, elemanlar olduğu kadar çok çalışır (yani kez).$N$$O(1)$$n$

Bu ASort algoritmasına çok benziyor. Giesen ve ark. al .:

https://www.inf.ethz.ch/personal/smilos/asort3.pdf

Ne yazık ki, çalışma süresi oldukça doğrusal değildir. Yukarıdaki makale içindeki öğeyi karşılaştıran karşılaştırma tabanlı herhangi bir rasgele algoritmanın alt sınırına sahip olduğunu kanıtlamaktadır ( varsayılarak ).n 2 / ν ( n ) n ∗ l o g ( ν ( n ) ) ν ( n ) < $n$$n^2/\nu(n)$$n*log (\nu(n))$$\nu(n) < n$

DÜZENLEME , sorudaki açıklamalara yanıt olarak:

Yaptığınız şey sadece bir kova çeşididir . Ancak, kova sıralaması için algoritma bu durumda doğrusal değildir. Sorun: Doğal sayıları toplamalı ve sonra her biri üzerinde bölünme yapmalısınız. Sayılar sınırsız olduğundan, artık sabit zamanlı bir işlem değildir. Toplamanız gereken daha fazla sayıyı gerçekleştirmek daha uzun sürer.$N/V[i]$

Ne kadar uzun? Bölme basamak sayısına bağlıdır, bu yüzden , çarpı bölme işlemidir. Muhtemelen tanıdık geliyor. :)$lg(n)$$n$

Sonuç olarak, sorum her şeyden önce alakasız. Aslında, RAM makinesinde düzenli maliyet ölçüsü ile çalışıyorum (yani, kayıtları mutlaka sabit boyutta olmayan ancak logaritmik boyuttaki tam sayıları girişte en fazla saklayabilen kayıtlarımız var ve bu kayıtlardaki işlemler sabit zaman alıyor, en azından ekleme). Ve aslında, bu modelde, sıralama tamsayıları (esasen bir radyus sıralaması yaparak) doğrusal zamanda yapılabilir. Bu 1996 yazısında Grandjean, Sorting, lineer zaman ve tatmin edilebilirlik problemi ile açıklanmıştır .

(Bu, iyi çalışılmış bir tamsayı kümesini "neredeyse sıralama" kavramları olup olmadığı konusundaki soruma cevap vermiyor, ancak ilginç olmaları için, muhtemelen bu zayıf kavramların zorlanmasının daha kolay olması, yani daha zayıf bir şekilde çalışılması gerekir. model ya da bir şekilde alt doğrusal zamanda çalışmaktadır.