DFA'lar için geçiş monoid üyeliği

Tam bir DFA verildi $A=(Q, \Gamma, \delta, F)$, fonksiyonların bir koleksiyonunu tanımlayabiliriz $f_a$ her biri için $a\in \Gamma$Ve birlikte $f_a:Q\rightarrow Q$, $f_a(q)=\delta(q, a)$. Bu düşünceyi bir kelimeye genelleştirebiliriz$w=a_1, \cdots, a_m$ ve $f_w=f_{a_1}\circ \cdots \circ f_{a_m}$ nerede $\circ$"Fonksiyon bileşimi". Ayrıca,$G=\{f_w\mid w\in \Gamma^*\}$ ve $G$ monoiddir.

[$G$genellikle standart ders kitabında geçiş monoid olarak adlandırılır , ancak burada netlik için tanımı yeniden üretiyorum.]

Soru, bir fonksiyon verildiğinde $f:Q\rightarrow Q$, karar verebilir miyiz $f\in G$ (ideal olarak polinom zamanında) ve eğer durum buysa (yani, $w$ öyle ki $f=f_w$), ister $w$ sadece polinom olarak uzun veya katlanarak uzun olabilir mi?

[Sanırım böyle bir kelime katlanarak uzun olabilir, ama basit bir örnek arıyorum.]

saptanabilirlik

Karar verilebilir. Sadece son derece çok sayıda olası işlev vardır$f:Q \to Q$, böylece bunu grafik başına erişilebilirlik sorunu olarak, işlev başına bir tepe noktası ve bir kenar olarak modelleyebilirsiniz. $g \to h$ eğer varsa $a \in \Gamma$ öyle ki $h = f_a \circ g$. Ardından, bir fonksiyonun$g$ içinde $G$ test olup olmadığını azaltır $g$ grafikte şuradan ulaşılabilir: $f_\epsilon$. Bu tür en kısa kelimeyi ilk kez kullanarak bulabilirsiniz. Çalışma süresi üstel olabilir$Q$, rağmen.

Kelimenin uzunluğu

Böyle en kısa kelime katlanarak uzun olabilir. İşte böyle bir DFA örneği. İzin Vermek$p_1,\dots,p_k$ birinci ol $k$asal. O zaman bir devlet formda olacak$(i,x)$ nerede $i \in \{1,\dots,k\}$ ve $x_i \in \{0,1,\dots,p_i-1\}$. Tekli alfabe ile bir DFA tanımlayın$\Gamma=\{0\}$ ve geçiş fonksiyonu $\delta((i,x),0 = (i,x+1 \bmod p_i)$. fonksiyonu tarafından verilir$f_0 :Q \to Q$

$$f_0(i,x) = (i,x+1 \bmod p_i).$$

Şimdi işlevi dikkate tarafından verilen$g:Q \to Q$

$$g(i,x) = (i,x-1 \bmod p_i).$$

Geri kalan Çin teoremini kullanarak, burada olduğunu ve bu tür en kısa kelime olduğunu göstermek mümkündür. Ayrıca, , bu nedenle , katlanarak büyüktür .$g = f_{0^n}$$n=p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_k -1$$0^n$$|Q|= p_1 + \dots + p_k$$n$$Q$

Sonuç olarak, böyle bir kelime üreten bir polinom-zaman algoritması için umut yoktur. Bu hala yaprakları karar vermek için bir polinom zaman algoritması olasılığını açık olan -se.$g$$G$