İkili bir ilişkiyi, her öğenin az sayıda bölmede olacağı şekilde bölmelere dağıtma

Bize nesnelerin çiftleri (sayılar gibi) verilir. Her nesne en fazla çiftinde görünür . Amacımız, çiftleri eşit boyutlu kutulara dağıtmaktır, böylece her nesne mümkün olduğunca az farklı kutuda oluşur. $q$

Daha kesin bir ifadeyle, bir fonksiyon ile ilgili olarak her ikili ilişki için bu özelliği ile en çiftler her nesne çiftleri için çift bir dağılımı mevcuttur kutuları her bin bu aldığı (çiftleri , ) 'yi bölmelidir ve kutularından daha fazla nesne oluşmaz . $f$ $m$ $q$ $p$ $m/p$ $p$ $m$ $f(m,q,p)$

Bu soru paralel sorgu değerlendirme araştırmamızda ortaya çıktı. Biri kıyasla büyük olmasını bekler . "Doğru" boyutu az açıktır. için ilginç bir boyut , örneğin . Bağımlı olmayan bir fonksiyonu , ancak belirli bir aralık için çalışır de olabilir yararlı (ancak ). $m$ $p$ $q$ $q$ $\sqrt{\frac{m}{p}}$ $q$ $q$ $q=O(1)$

Aslında, formunun sınırlarının , mümkün olduğunca büyük ... $p^{1-\epsilon}$ $\epsilon>0$

combinatorics

— Thomas S
kaynak

Grafik terminolojisinde: bir tamsayıdır verilen ve bir grafik ile en her köşe sahip derecesi ile, kenarlar bulmak, subgraphs burada , öyle ki ve bir bölümü olan içine boyutu her parça , ve her köşe en oluşur grafiklerin . Amacınız en aza indirmektir . En iyi üst sınır nedir

p $p$

G=(V,E) $G=(V,E)$

m $m$

q $q$

p $p$

G1,G2,…,Gp $G_1, G_2, \ldots, G_p$

Gi=(Vi,Ei) $G_i=(V_i, E_i)$

V=⋃iVi $V=\bigcup_i V_i$

{Ei}i $\{E_i\}_i$

E $E$

p $p$

m/p $m/p$

v∈V $v\in V$

k $k$

(maxv|{i:v∈Vi}|≤k) $(\max_v |\{i : v\in V_i\}| \le k)$

k $k$

k $k$ verilen , ve ?

m $m$

p $p$

q $q$

— Neal Young

Doğru. Grafikler açısından. Sorunun cevabı: . Aslında, yukarıda yazıldığı gibi, formunun sınırları ile ilgileniyoruz ve için böyle bir .

p $p$

p1−ϵ $p^{1-\epsilon}$

ϵ>0 $\epsilon>0$

— Thomas S

Başlamak için özel bir durum: , tek bir tamsayı olsun. Can bir bölüm tam bir grafik kenarlarını içine büyüklüğü alt grupları , her tepe için, bu tepe için kenarları olayı içeren alt kümelerinin sayısı olduğu şekilde, , bazı ? Ben herhangi evet bahis almak --- boyutta rasgele köşe alt kümelerini her. Daha sonra yüksek olasılıkla her köşe, köşe altkümelerinin kadarındadır ve her bir çift yaklaşık

n≥1 $n \ge 1$

(n2) $n\choose 2$

Kn $K_n$

n $n$

(n−1)/2 $(n-1)/2$

O(n1−ϵ) $O(n^{1-\epsilon})$

ϵ>0 $\epsilon>0$

ϵ<1/2 $\epsilon<1/2$

n $n$

n1−ϵ $n^{1-\epsilon}$

(i,j) $(i,j)$

n1−2ϵ $n^{1-2\epsilon}$ . Şimdi çiftleri alt kümelere atayın ...

— Neal Young

Bu durumda, düğümler önce boyut kümelerine (aralıkları düşünün) olarak dağıtılabilir . Daha sonra her kutu, bu tür iki setin ürününü alır (Yönlendirmenin daha kolay ve asimptotik olarak çok farklı olmayan tam yönlendirilmiş grafiği düşünüyorum). Bu nedenle, her köşe kutularında, bu durumda .

n−−√ $\sqrt{n}$

I×J $I\times J$

n−−√ $\sqrt{n}$

ϵ=12 $\epsilon=\frac{1}{2}$

— Thomas S

Yıldız grafiği için ( kenarları olay, bir köşe için ) tepe her biri olmak zorundadır den daha az sınırın bu durum için, yani Alt Graflar mümkün değildir. Sanırım bu yüzden maksimum derecesini kısıtlıyorsunuz ? Belki de bu konuda daha kesin bir şey söyleyebilirsiniz, çünkü çok önemli bir varsayım gibi görünüyor. Bu arada, aşağıda bir cevap olarak bir gözlem bıraktım (bir cevap değil, yorum yapmak için çok büyük!).

n−1 $n-1$

r $r$

p $p$

q $q$

— Neal Young

Bu bir cevap değil. tam olarak aynı boyutta tam olarak kenar alt kümeleri olması gereksinimini ve bunun yerine boyutunun herhangi bir sayıda kenar alt kümesini . Belki bu sorun hakkında düşünmeye yardımcı olur. $p$ $\{E_i\}_i$ $O(\textsf{the desired size})$

Herhangi bir grafik ve tamsayısını düzeltin . Let $G=(V,E)$ $p\ge 1$ $s=\lceil |E|/p\rceil$

Lemma. Diyelim ki , boyutundaki (herhangi bir sayıda) parçaya bölünmesini . Let herhangi bir tepe noktasının maksimum parça sayısı olmalıdır. $\{G'_j=(V'_j,E'_j)\}_j$ $\{E'_j\}_j$ $E$ $O(s)$

M = max v \in V | {j : v \in V' j} |

$M = \max_{v\in V} |\{j : v\in V'_j\}|$

Daha sonra orada subgraphs bu şekilde bölmeler tam olarak en parça büyüklüğü, her biri ve $p$ $\{G_i=(V_i,E_i)\}_i$ $\{E_i\}_i$ $E$ $p$ $s=\lceil |E|/p\rceil$

max v \in V | {i : v \in V i} | = O (M) .

$\max_{v\in V} |\{i : v\in V_i\}| = O(M).$

Kanıt. sekansından her bir parçasını, o kısımda bulunan kenarların sıralı bir sekansıyla değiştirin. Let Elde edilen dizi (bir permütasyon olmak , örneğin, her bir kısmı, bazı "aralık" bir kenarları arasında sekans). Şimdi içine bu sekans bölümü geçen dışındaki her boyutu sahip olacak şekilde bitişik alt sıralar ve izin kenarları ihtiva inci bitişik alt sıra. (Yani $E'_1, E'_2, \ldots, E'_{p'}$ $E'_j$ $e_1, e_2, \ldots, e_m$ $E$ $E'_j$ $\{e_a, e_{a+1}, \ldots, e_b\}$ $p$ $s$ $E_i$ $i$ $E_i = \{e_{i\,s+1}, e_{i\,s+1}, \ldots, e_{(i+1)s}\}$ için .) $i<p$

Varsayım olarak her bir parçasının boyutları vardır ve son kısmı hariç her bir parçasını tasarım olarak boyutları , bu nedenle ( tanımlanması nedeniyle) herhangi bir parçadaki kenarlar boyunca bölünmüş olan içinde parçalar . Bu varsayım, her köşe en oluştuğunu parçaların , her köşe en oluşur anlamına parçaların . QED $E'_j$ $O(s)$ $E_j$ $E_p$ $s$ $\{E_i\}_i$ $E'_j$ $O(1)$ $\{E_i\}_i$ $M$ $\{E'_j\}_j$ $O(M)$ $\{E_i\}_i$

— Neal Young
kaynak