Yüksek dereceli algoritmalar

İyi bilinen algoritmaların çoğu, giriş ve çıkışlarının "düz" veri olduğu anlamında birinci derecedendir. Bazıları, örneğin sıralama, karma tablolar veya harita ve katlama işlevleri gibi önemsiz bir şekilde ikinci derecedir: bir işlev tarafından parametrelendirilirler, ancak diğer girdi verilerinin parçalarına çağrılması dışında gerçekten ilginç bir şey yapmazlar.

Bazıları ayrıca ikinci dereceden fakat biraz daha ilginç:

• Monoitler tarafından parametreleştirilmiş parmak uçları
• Monoton bir yüklemede parmak ucunu bölme
• Önek toplamı algoritmaları, yine genellikle bir monoid veya bir yüklem vb.

Son olarak, bazıları benim için en ilgi çekici olan anlamıyla "gerçekten" üst düzey:

• Y birleştirici
• Fark listeleri

Önemsiz başka yüksek dereceli algoritmalar var mı?

Sorumu açıklığa kavuşturmak için "önemsiz yüksek dereceli" ifadesiyle "işlemsel formalizmin yüksek dereceli olanaklarını algoritmanın arayüzü ve / veya uygulamasında kritik bir şekilde kullanmak" demek istiyorum.

Http://math.andrej.com/ adresinde , örneğin çifte üsteller hakkında yazılan bir çok yüksek dereceli fonksiyon vardır , aşağıdaki Haskell tipi belirir (genişletilmiş tür eşleşmeleriyle):

shift :: Bool -> ((Int -> Bool) -> Bool) -> ((Int -> Bool) -> Bool)

Sonlu Zaman İçinde Sonsuz Arama için A Haskell Monad'ın gönderisiyle de çok eğlenebilirsiniz - örneğin:

newtype S a = S ((a -> Bool) -> a)
bigUnion :: S (S a) -> S a

Sanırım bigUnion türü 4. veya 5. sırada!

Bu terimlerle açık bir şekilde tarif edilmese de, "gerçekten 2. derece" olan bir sürü algoritma vardır. Doğrusal zaman algoritmalarına ne zaman sahip olsak, örtük, girdilere bir tür kehanet erişimidir, yani girdiyi gerçekten bir işlev olarak ele alır.

Örnekler:

(1) Bir "ayrılık oracle" ile çalışırken elipsoid algoritmaları (örneğin, http://math.mit.edu/~vempala/18.433/L18.pdf )

(2) Submodüler fonksiyon minimizasyonu (örneğin http://people.commerce.ubc.ca/faculty/mccormick/sfmchap8a.pdf )

(3) Bütün mal testi alanı gerçekten bu formdadır ( http://www.wisdom.weizmann.ac.il/~oded/test.html )

(4) Sorgu modelindeki birleşik açık artırmalar (örneğin, http://pluto.huji.ac.il/~blumrosen/papers/iter.pdf )

Bu sorunun başka bir cevabı var: Hiç yok. Daha spesifik olarak, bu tür herhangi bir (uygulanabilir!) Daha yüksek dereceli algoritma, işlevsizleştirme kullanan birinci dereceden bir algoritmaya mekanik olarak eşdeğerdir .

Daha kesin olalım: gerçekten yüksek emir algoritmaları varken, uygulamada her örneği tamamen birinci dereceden bir program olarak yeniden yazmak her zaman mümkün . Başka bir deyişle, doymuş bir yüksek dereceli program yoktur - temel olarak programların giriş / çıkışları bit dizeleridir. [Evet, bu bit dizeleri işlevleri temsil edebilir, ancak nokta bu: işlevleri temsil eder, işlev değildir ].

Zaten verilen cevaplar mükemmel ve cevabım onlarla çelişkili olarak değerlendirilmemelidir. Soruyu biraz daha geniş bir bağlamdan yanıtlıyor gibi düşünülmelidir (bağımsız algoritmalar yerine tam programlar). Ve bu bağlam değişikliği, cevabı oldukça kökten değiştiriyor. Cevabımın amacı, insanlara bunu unutmak için çok kolay olan hatırlatmak.

Ayrıştırıcı birleştirme kitaplıklarında, işlevin sırası genellikle oldukça yüksektir. Check out Ayrıştırma veya Neden birisi sana Hiç için kullan Altıncı-al İşlevini ister için bile İleri Düzey İşlevleri? Chris Okasaki tarafından. Fonksiyonel Programlama Dergisi , 8 (2): 195-199, Mart 1998.

Hesaplanabilir analiz, gerçek sayıları sınırsız miktarda bilgi içerdiğinden, gerçek sayıları programlı olarak karakterize eder ve dolayısıyla gerçek sayılarla ilgili işlemler soru anlamında daha üst düzeydedir. Tipik olarak, gerçek sayılar, sonsuz bit akışının, Cantor uzayının topolojik bir görünümü kullanılarak hesaplanabilir topolojinin daha geniş alanına ilgi göstererek sunulur.

Klaus Weihrach, bu konuda hesaplanabilir topolojinin İkinci Tip Etkililik Hiyerarşisi olarak bahsetti . Bu konuda daha fazla bilgi için, Weihrach & Grubba, 2009, İlköğretim Hesaplamalı Topoloji ve John Tucker'ın araştırma sayfasına, Topolojik Verilerle Hesaplama bölümüne bakın . Tucker'ın soruma Cantor Space Uygulamaları'ndan bahsettim .

Bir süreklilik modülü , fonksiyonel bir haritasıdır mbir (devamlı), fonksiyonel kabul F : (nat -> nat) -> natve bir sayı üretir k, böylece F f = F gher f i = g iTüm i < k. Süreklilik modülünü (çok verimli olmayanları) hesaplamak için algoritmalar vardır, bu da onu 3. dereceden bir algoritmanın örneği yapar.

Noam'ın cevabını tamamlamak için, çıktının bir fonksiyonun (açık bir temsili) olması önemli olduğu çeşitli durumlar da vardır .

İlginç bir örnek, listeyle kodlanabilen bir kodun tanımıdır. Let bir kod olabilir. Olasılıklı bir algoritmanın listesinin kodunu eğer , olasılıklı makinelerini :$C: \\{0,1\\}^n \rightarrow \\{0,1\\}^m$$A$ $(\alpha,L,\epsilon)$$C$$n$$A$$M_1,\dots,M_L$

$\begin{align}\forall w \in \\{0,1\\}^m, Pr_A [&\forall m,~(Ag(C(m),w) \geq \alpha \Rightarrow \\\ &\exists i \in [L],~\forall j \in [n],~Pr_{M_i}[M_i(j) = m_j] \geq 1-\epsilon)] \geq 2/3\end{align}$

Burada , iki dizenin üzerinde uzlaştığı koordinatların belirtir. Diğer bir deyişle, her bir alınan bir kelime için, çıkış , en azından bir olasılık ile, içermelidir , bir makine olup, -approximates her mesaj için olan kodlayan en azından kabul eder koordinatlarının fraksiyonu Alınan kelimebir 2 / 3 ε m m $Ag$$A$$2/3$$\epsilon$$m$$m$$\alpha$

Grafik algoritmalarında, köşeler ve kenarlar genellikle düz veri olarak düşünülür, ancak isteğe bağlı olarak programlı bir şekilde üretilebilmeleri için üretken biçimde genelleştirilebilirler.

Doktora (hesaplama kimyasında), daha çok sıralı biçimde birçok grafik algoritmasını uygulamıştım, onları esaslı grafiklerin analizine uygulamak için, özellikle de gerçek grafiklerim sonsuz olduğu için açıkça saklamayı göze alamazdım! Spesifik olarak, birim hücrelerin 3B eğimi (süper hücreler) olarak gösterilen amorf malzemelerin topolojisini inceliyordum.

Örneğin, aşağıdaki igibi bir köken tepe noktasının en yakın en yakıntaki kabuğunu hesaplamak için bir işlev yazabilirsiniz :

nth i 0 = {i}
nth i 1 = neighbors i
nth i n = diff (diff (fold union empty (map neighbors (nth i (n-1)))) (nth i (n-1))) (nth i (n-2))

nerede neighborsVerilen vertexe köşe komşu kümesini döndüren bir fonksiyondur.

Örneğin, 2D kare kafes:

neighbors (x, y) = {(x-1, y), (x+1, y), (x, y-1), (x, y+1)}

Bu bağlamdaki diğer ilginç algoritmalar Franzblau'nun en kısa yol halkası istatistiklerini içerir.