P zamanında hesaplanabilen ancak hesaplanamayan hesaplanabilir tüm sayılar

Bilinen herhangi bir hesaplanabilir aşkın sayısı, bu gibi var inci basamaklı olmayan polinom zamanda hesaplanabilir, fakat ?$n$$O(n)$

İşte böyle bir sayının inşası. Bunun böyle bir sayının "bilinen" anlamına gelip gelmediğini tartışabilirsiniz.

Herhangi bir işlev al $f$ itibaren $\mathbb{N}$ için $\{ 1, 2, \ldots, 8 \}$ nerede $n$'in basamağı hesaplanamıyor $O(n)$saati. Böyle bir fonksiyon, örneğin, olağan köşegenleştirme tekniği ile mevcuttur. Yorumlamak$f(n)$ olarak $n$bazı gerçek sayının ondalık basamağı $\alpha$. Şimdi, her biri için$n$ şeklinde $2^{2^k}$, $k \geq 1$, rakamlarını değiştirin $\alpha$ pozisyonlarda $n, n+1, \ldots, 3n$ için $0$'S. Ortaya çıkan sayı$\beta$ anlaşılan ki $n$'in basamağı hesaplanamıyor $O(n)$ zaman, ama rasyonellerle sonsuz çok iyi yaklaşımlar vardır, $O(q^{-3})$, şeklinde $p/q$. Sonra Roth teoremi ile$\beta$cebirsel olamaz. (Rasyonel değildir, çünkü keyfi olarak uzun bloklara sahiptir.$0$her iki tarafta da sıfır olmayanlar tarafından başlatılır.)

Daha genel olarak, herhangi bir sabit için $k\ge1$, polinom zamanında hesaplanan aşkın sayılar vardır, ama zaman içinde değil $O(n^k)$.

İlk olarak, hiyerarşi teoremi ile bir dil vardır. $L_0\in\mathrm E$ zamanda hesaplanamaz $O(2^{kn})$. Varsayabiliriz$L\subseteq\{0,1\}^*$ve ayrıca tüm dizelerin $w\in L$ uzunluğu bölünebilir $3$.

İkinci olarak $L_1$ olağandışı versiyonu olmak $L_0$. Kesinlik için, herhangi biri için$w\in\{0,1\}^*$, İzin Vermek $N(w)$ ikili temsili olan tamsayıyı gösterir $1w$, ve koy $L_1=\{a^{N(w)}:w\in L_0\}$. Sonra$L_1\in\mathrm P$, fakat $L_1$ zamanında hesaplanamaz $O(n^k)$. Dahası,$L_1$ şu özelliğe sahiptir: herhangi biri için $m$, $L_1$ hiç içermez $a^n$ öyle ki $2^{3m+1}\le n<2^{3m+3}$.

Üçüncü olarak

$$\alpha=\sum\{2^{-n}:a^n\in L_1\}.$$ (Burada sorunun ikili sayıları hesaplamakla ilgili olduğunu varsayıyorum. Değilse, $2$ yukarıda istenen herhangi bir baz ile değiştirilebilir, önemli değil.)

Sonra $\alpha$ ilkini hesaplayabildiğimiz gibi, polinom zamanda hesaplanabilir $n$ bit olup olmadığını kontrol ederek bit $a,a^2,\dots,a^n$ içeride $L_1$. Aynı nedenden dolayı, zaman içinde hesaplanamaz$O(n^k)$, olarak $n$biti, $a^n\in L_1$.

Herhangi $m$, İzin Vermek

$$p=\sum\{2^{2^{3m+1}-n}:n\in L_1,n<2^{3m+1}\}=\lfloor\alpha2^{2^{3m+1}}\rfloor,$$ ve $q=2^{2^{3m+1}}$. Sonra $$\left|\alpha-\frac pq\right|\le2^{-2^{3m+3}}=q^{-4}.$$ Böylece, $\alpha$ en azından mantıksızlık ölçüsü var $4$dolayısıyla Roth'un teoremi aşkın bir şeydir .