Razborov'un yaklaşım yöntemine üst düzey genel bakış

Razborov'un yaklaşım yöntemi nedir? Birisi üst düzey bir genel bakış ve arkasındaki sezgiyi verebilir mi?

İzin Vermek $f$ bir Boole işlevi olmak $n$-bits. İzin Vermek$Z = f^{-1}(0) \subseteq 2^n$. İzin Vermek$C$ n bit ve büyüklükte devre olmak $m$ ve kapılar $g_1, \ldots, g_m$. $g_i$ ayrıca işlevi $n$-bölge ile hesaplanan bitler $g_i$son kapı olarak. İlk$n$ kapılar giriş içindir $x_1, \ldots, x_n$. Amaç bunu göstermek$C$ büyüklüğünde $m$ hesaplayamıyorum $f$. Tüm hesaplamaları düşünün$C$ girişlerinde $Z$. Bir hesaplama, kapıların çıktılarına değerler atar. İzin Vermek$B$ Boole cebiri olmak $P(Z)$.

Fikir, herhangi bir işlev için düşünmektir $g$ üzerinde $n$- ne kadar iyi yaklaştığını gösterir $f$ üzerinde $Z$. İzin Vermek$||g|| = \{w \in Z \mid g(w) \neq 0 \}$.

Ultra filtre için $F \subseteq B$ ondan ultraproduct ile yeni bir hesaplama tanımlayabiliriz: $c(g_i) = 0$ iFF $||g_i|| \not\in F$. Bir ultrafiltre, esas olarak 0 değerleri için bir dizi tutarlı hesaplama olduğundan$c$geçerli bir hesaplamadır. Bunu takip ederdi$f(c_1, \ldots, c_n) = 0$. Mevcut olanlardan yeni bir hesaplama yarattık. Sonlu kümelerdeki tüm ultrafiltreler temel olduğundan$c_1,\ldots,c_n \in Z$. Bu herhangi bir devre için çalışır, devrenin boyutta olduğu gerçeğinden yararlanmadık$m$.

Bir sonraki fikir şimdi, dışarıda yeni bir girdi oluşturmak için devrenin sonluluğundan yararlanmaktır. $Z$ ve $f(w) \neq 0$ ancak sınırlı boyutu nedeniyle devre fark etmez ve bu nedenle hala 0 verir. $f$.

Dışarıda bir girdi alabilmemiz için ultrafilter tanımını gevşetmeliyiz $Z$. Ultra filtreler yerine,$B$ ($a \in F$ ve $a \subseteq b$ ima $b \in F$) koruyan bir araya gelir ($a,b \in F$ ima $a \cap b \in F$).

İzin Vermek $W_F = \{w \in 2^n \mid w_i = 0 \to ||\lnot x_i|| \in F, w_i \neq 0 \to ||x_i|| \in F\}$. $W_F$ ile uyumlu girdi kümesidir $F$. Eğer$F$ asal ($a \cup b \in F$ ima $a \in F$ veya $b \in F$) ve tam olmayan ($\emptyset \not\in F$) sonra her biri için $i$, $F$ ikisinden birini içerir $||x_i||$ veya $||\lnot x_i||$ ve $W_F$ yalnızca tek bir girdi içerir.

Karşılaşmaların korunmasını rahatlatacağız. Boole cebrindeki tüm buluşmaların yerine az sayıda koruyacağız. İzin Vermek$|f|$ en küçük sayı ol $k$ yüz yüze $M = (a_1 \cap b_1, \ldots, a_k \cap b_k)$ öyle ki tüm yukarı doğru kapalı, tam olmayan, $M$-preserving $F$, $W_F \subseteq Z$.

İzin Vermek $m$ devre karmaşıklığı olmak $f$. Razborov bunu kanıtladı$\frac{1}{2}|f| \leq m \leq O(|f|^3 + n^3)$.

Bu eşitsizliğin tüm işlevler için geçerli olduğunu unutmayın . Devre boyutunun alt sınırını kanıtlamak için$m$ bunu herkes için göster $m$-meets $M$, var $F$ koşulları karşılayan ama $W_F$ içinde yer almıyor $Z$. Ayrıca, herhangi bir güçlü devre alt sınırı, ikinci eşitsizlik nedeniyle bu yöntemle kanıtlanabilir.

Bir devrenin alt sınır kanıtının gerçek kısmı, verilen $m$, herhangi $m$-Böyle bir şey var $F$. Monoton devrelerde,$W_F$ basitleştirir $w_i \neq 0 \to ||x_i|| \in F$ yani gelmek $F$ daha kolay.

Alexander Razborov, Yaklaşım Yöntemi Üzerine, 1989. pdf

Mauricio Karchmer, Devre Boyutu İçin Alt Sınırların İspatlanması Üzerine, 1995.

Tim Gowers, Razborov'un yaklaşım yöntemi, 2009. pdf

Feragatname : Bu sadece Blum'un yakın tarihli makalesinde kullanılan yöntemlere bir miktar sezgi kazandırmayı amaçlayan üst düzey bir genel bakıştır.

Yukarıda belirtilen makalede kullanılanlara daha yakın olan notasyonu kullanmaya çalışacağım.

İzin Vermek $f$ bir Boole işlevi olmak $n$ değişkenler $x_1,\dots,x_n$. Varsayalım ki herhangi bir Boolean ağ bilgi işleminin$f$ büyük boy.

Bazı Boole ağları verildi $\beta$ bilgi işlem $f$ çıkış düğümünde aşağıdaki işlemi göz önünde bulundurun.

1. Kapıları sipariş edin $\beta$ bazı topolojik düzene göre $g_1,g_2,\dots,g_m$ burada son düğüm çıkış düğümüdür.
2. Her zaman adımı için $t=1,\dots,m$Biz edecektir tahmin kapıda bilgisayarlı işlevi$g_t$ “basit” fonksiyon ile $f_{g_t}$. Bu yaklaşım, akış yönündeki düğümlerde hesaplanan işlevleri değiştirebilir$g_t$ (özellikle, çıkış düğümündeki işlev $g_m$ değişmiş olabilir).

Bu işlemin sonunda, hesaplanan işleve yaklaşık $g_m$ basit bir işlevle $f_{g_m}$.

Sonra bir grup test girişi oluşturun $T\subseteq \{0,1\}^n$.

Aşağıdaki ifadeleri kanıtlayabileceğimizi varsayalım:

• Her bir düğümün yaklaşımı iyidir (yani en fazla $e$-Birden girişlerde birçok hata $T$ her yaklaştırma adımında).
• Basit işlev yaklaşmaz $f$ iyi (yani, herhangi bir basit işlev için $f_{g_m}$, sahibiz $f_{g_m}\neq f$ daha fazla $d$kesir $T$).

Sonra sadece hata sayısını sayarak $\beta$ en azından olmalı $\tfrac{d\lvert T\rvert}{e}$- birçok kapı.

Bu yaklaşım şemasının herhangi bir ağ için çalıştığı gösterilebilirse $\beta$ fonksiyonun hesaplanması $f$, daha sonra devre karmaşıklığı için bir alt sınır $f$.