İkili Çarpmanın En Önemli Bitine Karar Verme

Aşağıdaki karar sorununun karmaşıklığını belirlemekle ilgileniyorum: ve (her biri en fazla m biti olan) iki tamsayı verildiğinde , çarpımının en önemli bitinin 1 (sonuç muhtemelen önde gelen 0'larla 2m bit olarak yazdırılır)? $l_1$ $l_2$ $l_1 \cdot l_2$

Sorunu bazı arka planı: Kuşkusuz, bu problem olmadığını sorar ikili çoğalması için bir özel bir durumdur çarpma bölgesinin inci bit Makalelerinde 1'dir, bölme forması sabit derinlik eşiği devreleri ve ardışık çarpma , Hesse, Allender ve Barrington yinelenen (ve dolayısıyla ikili) çarpmanın - üniform olduğunu kanıtlamaktadır . Dahası, ikili çoğalmanın zaten olduğu iyi bilinmektedir. $i$ $l_1 \cdot l_2$ $\mathsf{DLogTime}$ $\mathsf{TC}^0$ -üniform -Sert. Ancak, bu sertlik sonucunu kanıtlayan belirli bir kaynak bulamadım. Devre karmaşıklığı konusunda uzman olmayan biri olarak, bu genel sertlik sonucunun bir göstergesini de takdir ediyorum. Son olarak, ikili çarpmanın -üniform sert olduğu varsayıldığında, sorum şu şekilde de okunabilir: -üniform kalır mı? $\mathsf{DLogTime}$ $\mathsf{TC}^0$ $\mathsf{DLogTime}$ $\mathsf{TC}^0$ $\mathsf{DLogTime}$ $\mathsf{TC}^0$ -her ikili çarpmanın sadece en önemli bitine karar vermek istiyorsak?

GÜNCELLEME: Kaveh'in cevabı, ikili çarpmanın neden sert olduğunu açıklar (COUNT değerinden azalma). İkili çarpmanın en önemli bitine karar vermenin kesin karmaşıklığı açıktır (ve bu soru için lütuf budur). $\mathsf{TC}^0$

cc.complexity-theory circuit-complexity

— Hey hey hey
kaynak

Betimleyici Karmaşıklık kitabında bir kanıt var. En önemli bitin biriyle ne demek istediğinden emin değilim, her zaman tanım gereği birdir.

— Kaveh

Bu sadece öğretmeninizin bir şakasıdır: Bitler 0 veya 1'dir ve en önemli bit, en yüksek konumda 0 olmayan bittir. Bu 1 tanımla (faktörlerden biri sürece eşit

, sıfırdır).

l_{1}

$l_1$

l_{2}

$l_2$

— Gamow

@Kaveh Referans için teşekkürler: Ben kontrol edeceğim. En önemli bitle ilgili karışıklık için özür dileriz. Ben sonuç 2m-1 bit ve gerekirse önde 0 ile basıldığını varsayıyorum.

— Heyheyhey

@Kaveh: Betimsel Karmaşıklık Kitabında sadece üst sınırdan bahsedilmektedir. Yine de ikili çarpma sertliği ile ilgili bir şey bulamadım.

— Heyheyhey

"Ayrıca, ikili çarpmanın zaten

- üniform

-hard olduğu iyi biliniyor." Neden öyle görünüyor? İkili çarpmanın

olmadığını biliyorum ve şu anda umursadığım tek şey bu.

D L o g T i m e

$\mathsf{DLogTime}$

{T C}^{0}

$\mathsf{TC}^0$

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

— Thomas Klimpel

için çarpma işlemi tamamlanmıştır ve bu iyi bilinen bir sonuçtur. Bu azalma Count (ikili sayıdaki 1 bit sayısı) değerinden gelir. İkili sayıların karşılaştırılması dır, bu nedenle indirgenebilir . $\mathsf{TC}^0$ $\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{Majority}$ $\mathsf{Count}$

Azaltmak için, için aşağıdaki gibi yapın: giriş düşünün . Takın arasındaki 0sn ler ve diyoruz . Çarpma onunla gibi olan dışında içinde s 1s ile değiştirilir. Seçim . Orta bölümünde numara cevaptır. İndirgeme $\mathsf{Count}$ $\mathsf{Mult}$ $a_0a_1\ldots a_n$ $k$ $a_i$ $a$ $b$ $a$ $a_i$ $k>3n$ $ab$ $\mathsf{FO}$ ve . $\mathsf{Count} \in \mathsf{FO(Mult)}$

— Kaveh
kaynak

Cevaplar için teşekkürler! Evet, bu TC0 için ikili çarpmanın tamamlandığını doğrular. En önemli bit ise, bazı sorunlar kaldı. Çarpmanın en önemli biti (111 x 111) = 110001 1'dir ve bunun için (100 x 100) = 010000, 0'dır. Çarpımların en önemli bitlerinin her iki durumda da aynı olduğuna dikkat edin. Bu nedenle, genel olarak, en önemli bitleri toplamak için yeterli olduğunu düşünmüyorum. Bir şey mi kaçırıyorum?

— Heyheyhey

Eğer

, daha sonra MSB

0 ve MSB'si

halde, 1

farklıdır, sadece olabilir bir, en az anlamlı, biraz.

x = ⌊ 2^{n + 1 / 2} ⌋

$x=\lfloor2^{n+1/2}\rfloor$

y = ⌈ 2^{n + 1 / 2} ⌉

$y=\lceil2^{n+1/2}\rceil$

x^{2}

$x^2$

y^{2}

$y^2$

x

$x$

y

$y$

— Emil Jeřábek

Düzenleme doğru değil. M sayıları eklediğimiz için, sadece bir bit taşıma olmayabilir, ancak m günlüğü kaydedilebilir. Ne kadar yayıldığına karar vermek çok daha zordur.

— Emil Jeřábek

Gerçekten de, diğer her şeyi göz ardı etmek: tek bir konumdan (örneğin, ortada bir yerde) yürütmeyi hesaplamak zaten Count'a eşdeğerdir, bu nedenle TC ^ 0-complete.

— Emil Jeřábek

@Heyheyhey, yazdığım formül FO ve bu nedenle AC0 düzgün.

— Kaveh