Graph Isomorphism ve gizli alt gruplar

Grafik izomorfizmi ile gizli alt grup problemi arasındaki ilişkiyi anlamaya çalışıyorum. Bunun için iyi bir referans var mı?

Referanslar martinschwarz'ın cevabında bulunabilir, ancak işte birkaç indirimin özeti.

Simetrik grup köşe permutasyonu ile grafiklerinin n köşenin üzerinde hareket eder. İki grafiğin izomorfik olup olmadığının belirlenmesi, A u t ( G ) için bir polinom boyutunda üretici setin hesaplanmasına eşdeğer polinom-zaman eşittir .$S_n$$Aut(G)$

Simetrik bir grup üzerinden HSP indirgeme (burada n, grafikte değişken sayısıdır). Fonksiyon f olan f ( s ) = p ( G ) p bir permütasyon S , n ve p ( G ) arasında sırası büyük versiyonu G . Daha sonra f , A u t ( G ) ' nin coset'lerinde sabittir ve farklı coset'lerde farklıdır ( $S_n$$n$$f$$f(p)=p(G)$$p$$S_n$$p(G)$$G$$f$$Aut(G)$$f$ ) 'ye izomorfik olan tüm grafiklerden oluşur . Gizli alt grup tam olarak A u t ( G ) olduğu için , eğer bu HSP'yi çözebilseydik, A u t ( G ) için üretici sete sahip olurduk ki bu GI'yi çözmek için tek ihtiyacımız olan şeydir (yukarı bakın).$G$$Aut(G)$$Aut(G)$

üzerinden HSP'ye azaltma . İki grafik olmadığını bilmek için G ve H ile n köşe izomorfik, grafik dikkate K ayrık birliği G ve H ile 2 N köşe. Let , Z / 2 , Z değiştirerek noktalar üzerinde hareket i ile n + i için i = 1 , . . . , n . Ya $S_n \wr \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$G$$H$$n$$K$$G$$H$$2n$$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$i$$n+i$$i=1,...,n$ ya da bir u t ( K ) = ( A u t ( G ) x bir U T ( H ) ) s E m i d i r e c t , Z / 2 , Z . Daha önce olduğu gibi, f ( $Aut(K) = Aut(G) \times Aut(H)$$Aut(K) = (Aut(G) \times Aut(H)) semidirect \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$X hemen bir elemanıdır S , n ≀ Z / 2 , Z ile hareket K tarif edildiği gibi. İlişkili gizli alt grup f tam olarak bir U t ( K ) daha önceki azalması gibi. Eğer bu HSP'yi çözersek, A u t ( K ) için bir jeneratör seti elde ederiz. Bu jeneratör herhangi bir unsur içerip içermediğinin kontrol edilmesi kolay sonra olduğu swaplarından kopyası G kopyasıyla H iç$f(x)=x(K)$$x$$S_n \wr \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$K$$f$$Aut(K)$$Aut(K)$$G$$H$ (önemsiz Z / 2 Z bileşenine sahip).$K$$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$

Dave Bacon'un Graph Isomorphism'deki blog yazısını literatür linkleriyle okumak isteyebilirsiniz .

Andrew Childs ve Wim van Dam'ın "Cebirsel problemler için kuantum algoritmaları" arXiv: 0812.0380 , Abelian olmayan HSP'ye ve Graph Isomorphism ile olan ilişkisine iyi bir giriş içeren çok iyi bir anket çalışmasıdır.