Azuma'nın eşitsizliğinin bu standart dışı versiyonunun kanıtı nedir?

Dwork ve arkadaşlarının Ek B Güçlendirme ve Diferansiyel Gizliliğinin Ek B'sinde yazarlar aşağıdaki sonucu kanıtsız olarak belirtmiş ve Azuma eşitsizliği olarak ifade etmişlerdir:

Let gerçek değer verilmesi rastgele değişkenler, öyle ki her için , $C_1, \dots, C_k$ $i \in [k]$

$\Pr[|C_i| \leq \alpha] = 1$ ve

her $(c_1, \dots, c_{i - 1}) \in \text{Supp}(C_1, \dots, C_{i - 1})$ için $\text{E}[C_i \mid C_1 = c_1, \dots, C_{i - 1} = c_{i - 1}] \leq \beta$ .

Sonra her $z > 0$ için $\Pr[\sum_{i = 1}^k C_i > k\beta + z \sqrt{k} \cdot \alpha] \leq e^{-z^2/2}$ .

Bunu kanıtlamakta zorlanıyorum. Azuma eşitsizliğinin standart versiyonu diyor ki:

Diyelim ki $\{X_0, X_1, \dots, X_k\}$ bir martingale ve $|X_i - X_{i - 1}| \leq \gamma_i$ neredeyse kesinlikle. Sonra tüm $t > 0$ için $\Pr[X_k \geq t] \leq \exp(-t^2/(2 \sum_{i = 1}^k \gamma_i^2))$ .

Dwork ve arkadaşları tarafından belirtilen eşitsizliğin sürümünü kanıtlamak için $X_0 = 0$ ve $X_i = X_{i - 1} + C_i - \text{E}[C_i \mid C_1, C_2, \dots, C_{i - 1}]$ . Bu şekilde, $\{X_0, \dots, X_k\}$ bir martingale olduğunu düşünüyorum. Ama söyleyebileceğimiz tek şey $|X_i - X_{i - 1}| \leq 2\alpha$ neredeyse kesinlikle, değil mi? Bu iki faktör soruna neden olur, çünkü bunun yerine $\Pr[\sum_{i = 1}^k C_i > k\beta + z\sqrt{k} \cdot 2\alpha] \leq e^{-z^2/2}$ 2/2 , ki bu Dwork ve ark.

Kaçırdığım basit bir hile var mı? Dwork ve ark. iki faktör eksik?

pr.probability

— William Hoza
kaynak

Makaledeki ifade doğrudur, ancak Azuma eşitsizliğinin "olağan" versiyonundan sonra gelmez. Sorun, olağan ifadenin olduğunu varsayması ancak aynı uzunlukta herhangi bir aralığın yapılması; simetrik bir aralık varsaymak için hiçbir neden yoktur.

X_{i} - X_{i - 1} \in [- a, a]

$X_i-X_{i-1}\in[-a,a]$

— Thomas

Bir referans bulamıyorum, bu yüzden sadece kanıtı burada çizeceğim.

Teorem. Let gerçek rasgele değişkenler. Let sabitleri olmak. Tüm, Varsayalım ki ve destek , sahibiz $X_1, \cdots, X_n$ $a_1, \cdots, a_n, b_1, \cdots, b_n$ $i \in \{1,\cdots,n\}$ $(x_1,\cdots,x_{i-1})$ $(X_1, \cdots, X_{i-1})$

$\mathbb{E}[X_i | X_1=x_1, \cdots, X_{i-1}=x_{i-1}] \leq 0$ ve

$\mathbb{P}[X_i \in [a_i,b_i]]=1$ .

Ardından, tüm , $t\geq0$
$P [Σ_{ben = 1}^{n} X_{ben} \geq t] \leq tecrübe (\frac{- 2 t^{2}}{Σ_{ben = 1}^{n} (b_{ben} - {bir}_{ben})^{2}}) .$ $\mathbb{P}\left[\sum_{i=1}^n X_i \geq t\right] \leq \exp\left(\frac{-2t^2}{\sum_{i=1}^n (b_i-a_i)^2}\right).$

Kanıt. Tanımla . O İstem Tüm ve için Varsayımla, ve desteğindeki tüm için $Y_i = \sum_{j=1}^i X_j$

\begin{matrix} (*) & \forall ben \in {1, \dots, n} \forall λ \geq 0 E [e^{λ Y_{ben}}] \leq e^{\frac{1}{8} λ^{2} Σ_{j = 1}^{ben} (b_{j} - {bir}_{j})^{2}} . \end{matrix}

$\forall i \in \{1,\cdots,n\}~\forall \lambda \geq 0 ~~~~~ \mathbb{E}\left[e^{\lambda Y_i}\right] \leq e^{\frac18 \lambda^2 \sum_{j=1}^i (b_j-a_j)^2}.\tag*{(*)}$

i

$i$

λ

$\lambda$

E [e^{λ Y_{ben}}] = E [e^{λ Y_{ben - 1}} \cdot e^{λ X_{ben}}] = E [e^{λ Y_{ben - 1}} \cdot E [e^{λ X_{ben}} | Y_{ben - 1}]] .

$\mathbb{E}\left[e^{\lambda Y_i}\right] = \mathbb{E}\left[e^{\lambda Y_{i-1}}\cdot e^{\lambda X_i}\right] = \mathbb{E}\left[e^{\lambda Y_{i-1}}\cdot \mathbb{E}\left[e^{\lambda X_i}\middle|Y_{i-1}\right]\right].$

μ (y_{i - 1}) := E [X_{i} | Y_{i - 1} = y_{i - 1}] \leq 0

$\mu(y_{i-1}):=\mathbb{E}[X_i|Y_{i-1}=y_{i-1}]\leq 0$

P [X_{i} \in [a_{i}, b_{i}]] = 1

$\mathbb{P}[X_i \in [a_i,b_i]] =1$

y_{i - 1}

$y_{i-1}$

Y_{i - 1}

$Y_{i-1}$ . (Not bu .) Böylece göre Hoeffding Önsavı , tüm ve tüm desteklemektedir . Yana biz sahip tüm , Şimdi indüksiyon yukarıdaki (*) iddiasını vermektedir.

Y_{i - 1} = X_{1} + \dots + X_{i - 1}

$Y_{i-1}=X_1+\cdots+X_{i-1}$

E [e^{λ X_{ben}} | Y_{ben - 1} = y_{ben - 1}] \leq e^{λ μ (y_{ben - 1}) + \frac{1}{8} λ^{2} (b_{ben} - {bir}_{ben})^{2}}

$\mathbb{E}\left[e^{\lambda X_i}\middle|Y_{i-1}=y_{i-1}\right] \leq e^{\lambda\mu(y_{i-1})+\frac18 \lambda^2(b_i-a_i)^2}$

y_{i - 1}

$y_{i-1}$

Y_{i - 1}

$Y_{i-1}$

λ \in R

$\lambda \in \mathbb{R}$

μ (y_{i - 1}) \leq 0

$\mu(y_{i-1})\leq 0$

λ \geq 0

$\lambda \geq 0$

E [e^{λ Y_{ben}}] \leq E [e^{λ Y_{ben - 1}} \cdot e^{0 + \frac{1}{8} λ^{2} (b_{ben} - {bir}_{ben})^{2}}] .

$\mathbb{E}\left[e^{\lambda Y_i}\right] \leq \mathbb{E}\left[e^{\lambda Y_{i-1}}\cdot e^{0+\frac18 \lambda^2(b_i-a_i)^2}\right].$

Şimdi uygulamak Markov eşitsizliği için ve kullanımı iddiamızı (*). Tüm , Son olarak, sağ ifadeyi en aza indirmek ve sonucu elde etmek için . $e^{\lambda Y_n}$ $t, \lambda > 0$

P [Σ_{ben = 1}^{n} X_{ben} \geq t] = P [Y_{n} \geq t] = P [e^{λ Y_{n}} \geq e^{λ t}] \leq \frac{E [e^{λ Y_{n}}]}{e^{λ t}} \leq \frac{e^{\frac{1}{8} λ^{2} Σ_{ben = 1}^{n} (b_{ben} - {bir}_{ben})^{2}}}{e^{λ t}} .

$\mathbb{P}\left[\sum_{i=1}^n X_i \geq t\right]=\mathbb{P}[Y_n \geq t] = \mathbb{P}\left[e^{\lambda Y_n} \geq e^{\lambda t}\right] \leq \frac{\mathbb{E}\left[e^{\lambda Y_n}\right]}{e^{\lambda t}} \leq \frac{e^{\frac18 \lambda^2 \sum_{i=1}^n (b_i-a_i)^2}}{e^{\lambda t}}.$

λ = \frac{4 t}{\sum_{i = 1}^{n} (b_{i} - a_{i})^{2}}

$\lambda=\frac{4t}{\sum_{i=1}^n (b_i-a_i)^2}$

\begin{matrix} ◼ \end{matrix}

$\tag*{$\blacksquare$}$

gibi, bu ve Azuma eşitsizliğinin "olağan" ifadesi arasındaki temel fark yerine . Birincisi daha fazla esneklik sağlar ve bu bazı durumlarda 2 kat tasarruf sağlar. $X_i \in [a_i,b_i]$ $X_i \in [-a,a]$

rastgele değişkenlerinin bir süper- olduğunu unutmayın . Azuma eşitsizliğinin olağan sürümünü bir Martingale , ve (burada ) ve ardından yukarıdaki sonucu uygulayarak. $Y_i$ $Y_1, \cdots, Y_n$ $X_i=Y_i-Y_{i-1}$ $[a_i,b_i]=[-c_i,c_i]$ $\mathbb{P}[|Y_i-Y_{i-1}|\leq c_i]=1$

— Thomas
kaynak

İspat birinci satırında, tahminen olmalıdır (şekilde üst toplamının bağlı yerine ) ....

Y_{i} = \sum_{j = 1}^{i} X_{j}

$Y_i = \sum_{j=1}^i X_j$

i

$i$

n

$n$

— Dougal

Kanıt ayrıca Dubhashi ve Panconesi tarafından monografta verilmiştir.

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

@KristofferArnsfeltHansen: Harika. Bir bağlantın var mı?

— Thomas