İletişim Karmaşıklığı… Sınıflar?

Tartışma :

Son zamanlarda iletişim karmaşıklığında çeşitli şeyler öğrenmek için biraz kişisel zaman geçirdim. Mesela Arora / Barak'daki ilgili bölümle yeniden tanıştım, bazı makaleler okumaya başladım ve kitabı Kushilevitz / Nisan'dan emretti. Sezgisel olarak, iletişim karmaşıklığını hesaplama karmaşıklığı ile karşılaştırmak istiyorum. Özellikle, hesaplama karmaşıklığının hesaplama problemlerini karmaşıklık sınıflarına yerleştirmek için zengin bir teoriye dönüştüğü gerçeği beni şaşırtıyor, bazıları da ( en azından bir perspektiften ) tam problemler için öngörülebilir her bir sınıf. Örneğin, $NP$ birisine ilk kez, SAT veya başka bir NP-tamamlama problemiyle karşılaştırmaktan kaçınmak zordur.

Karşılaştırma olarak, iletişim karmaşıklığı sınıfları için benzer bir kavramdan hiçbir şey duymadım. "Teorem için tamamlandı" sorunlarının farkında olduğum birçok örnek var. Örneğin, bir çerçeve oluşturmak üzere, yazarlar, belirli bir iletişim sorunu tarif olabilir ve daha sonra ilgili bir teoremi kanıtlamak T tutar i f f iletişim sorunu çözülebilir X ya da daha az bit ( X belirli teoremi bağlıdır / söz konusu sorun çifti). Literatürde o zaman kullanılan terminoloji, P'nin T için "tam" olduğudur .$P$$T$$iff$$X$$X$$P$$T$

Ayrıca, Arora / Barak iletişim karmaşıklığı bölüm taslağında (son baskıda kaldırılmış / değiştirilmiş gibi görünüyor), "Genel olarak, , c o N P'ye benzer iletişim protokolleri düşünülebilir. , P H vb. " Ancak, iki önemli eksiklik fark ettim:$NP$$coNP$$PH$

1. "Benzer" kavramı, belirli bir protokolü farklı kaynak türlerine erişerek çözmenin iletişim karmaşıklığını hesaplamanın bir yolu gibi gözükmektedir, ancak uygun iletişim karmaşıklığı sınıflarını tanımlamaktan çok daha azı durmaktadır ...
2. İletişim karmaşıklığının çoğu, sonuçların / teoremlerin / vb. Ezici çoğunluğunun göreceli olarak "düşük seviyeli" gibi görünmektedir. küçük-ish, spesifik, polinom boyutlu değerlerin etrafında döner. Bu, hesaplama için neden ilginç olduğunu, ancak benzer kavramın iletişim için daha az ilginç olduğu sorusunu biraz soruyor . (Tabii ki, sadece "üst düzey" iletişim karmaşıklığı kavramlarından habersiz olduğum için hatalı olabilirim.) $NEXP$

Soru (lar) :

İletişim karmaşıklığı için hesaplama karmaşıklığı sınıflarına benzer bir kavram var mı?

Ve:

Öyleyse, karmaşıklık sınıflarının "standart" nosyonu ile nasıl karşılaştırılır? (örneğin, "iletişim karmaşıklığı sınıfları" nın doğal olarak tüm hesaplama karmaşıklığı sınıfları yelpazesinin altına düşmesine neden olan doğal sınırlamalar var mı?) Değilse, sınıfların hesaplama karmaşıklığı için ilginç bir formalizm olmasının "büyük resmi" nedeni nedir, ancak iletişim karmaşıklığı için?

Bu makaleyi arıyorsunuz gibi görünüyor: http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1382439.1382962

İletişim karmaşıklığındaki karmaşıklık sınıfları, Noam tarafından alıntılanan makalede Babai, Frankl, Simon tarafından tanıtıldı. Makale ayrıca uygun indirgeme altında bütünlük fikrini geliştirmektedir. Örneğin NP ve ko-NP sınıflarını tarif ederseniz, (ko-NP tam) Ayrıklık problemini de tanımlamak çok mantıklıdır.

İkinci sorularınıza gelince, eğer P (iletişim karmaşıklığında), polilog (n) iletişim ile belirleyici olarak çözülebilen problem sınıfı ise, o zaman EXP sınıfı, her şey olan poli (n) iletişim ile çözülebilen problemler kümesi olmalıdır. Yani bu tür dersler ilginç değil gibi görünüyor.

Ancak, daha büyük sınıflar almanın başka bir yolu var. Zaten PSPACE (Babai ve ark. Tarafından) bazı mekan kavramları açısından değil, dönüşümlü olarak tanımlanmaktadır. Etkileşimli kanıtlar, büyük karmaşıklık sınıfları almanın başka bir yoludur. Böylece MIP sınıfını, iki prover (birbiriyle konuşamayan) ve iki doğrulama (birbiriyle ve provers ile konuşabilen) ile bir iletişim oyununda çözülebilecek problemler kümesi olarak tanımlayabilirsiniz.

Turing makine dünyasında, MIP = NEXP, ama iletişim karmaşıklığında (NEXP'nin mantıklı olmadığı yerlerde) ne olacak? Her şeyden önce, MIP sadece basit bir sayım argümanı nedeniyle tüm problemlerin seti değildir.

Andrew Drucker (yüksek lisans tezinde) bu sınıf hakkında ilginç bir şey gösterdi. PCP'leri (standart tekniklerle) MIP protokollerine eşdeğer olan iletişim karmaşıklığı olarak değerlendirir (sonucu burada belirttiğimden biraz daha güçlüdür).

Gösterdiği şey, NP'deki (Turing makine sınıfı) her problem için ve girişleri ayırmanın herhangi bir yolu için, ortaya çıkan iletişim probleminin iletişim polilogu (n) ile bir MIP protokolüne sahip olmasıdır (yani, problem (iletişim karmaşıklığı) MIP sınıfı).

Bu nedenle, MIP her şey olmasa da, MIP'de olmayan açık bir sorun bulmak zor olmalıdır (NP'de olmayan sorunları bulamadığımız için değil, çünkü Turing makinesi karmaşıklığının nasıl devreye girebileceğini hayal etmek kolay olmadığından ).

MIP için daha düşük sınırlar göstermenin zor olması çok şaşırtıcı olmayabilir, çünkü AM protokolleri için daha düşük sınırları nasıl kanıtlayacağımızı bile bilmiyoruz.

Karmaşık Hayvanat Bahçesi'nin bir bölümünde en önemli İletişim Karmaşıklığı sınıfları listelenmektedir.

İletişim karmaşıklığı üzerinde bu tür sınırlamaların temel nedeni, iletilmesi gereken toplam girdinin (girdiler) yalnızca doğrusal bir miktarının olmasıdır. Her ne kadar Hartmut Klauck zaten cevabında bunu belirtmiş olsa da, diğer OQ'ya bu temel sınırlamanın altında yatan sebeple ilgili bir cevabı vurgulamak istedim, yani oyuncuların hesaplama açısından sınırsız olduğunu vurgulamak istedim .

$d(n)$$O(d(n)\log n)$$d(n)=O(1)$