BPP'nin P / poly'de olduğunu öğrendikten sonra BPP ve P gerçek bir problem midir?

BPP P / poly ve daha da güçlü bir BPP / poly P / poly tutma işleminin dahil edildiğini (şimdilik yaklaşık 40 yıldır Adleman, Bennet ve Gill'e teşekkür ediyoruz) biliyoruz . "/ Poli" anlamına gelir çalışmasını homojen olmayan (her giriş uzunluğu için ayrı bir devre ) iken, p Elimizdeki bu "/ Poli" imkanı olmayan bir Turing makinesi tüm olası giriş uzunlukları daha uzun demek, daha, = bir sonraki "Büyük Patlama" ya geçen saniye sayısı. $\subseteq$ $\subseteq$ $n$$n$$n$

Soru 1: BPP P / poly'i bildikten sonra BPP = P'nin bir kanıtı (veya kanıtsızlığı) bilgimize nasıl katkıda bulunur ? $\subseteq$

"Yeni" altında, diğer karmaşıklık sınıflarının çöküşü / ayrılması gibi gerçekten şaşırtıcı sonuçlar kastediyorum. Bunu, NP subseteq P / poly'nin sağlayacağı kanıt / sökülmeyle sonuçlandırın . $\subseteq$

[EKLENEN 2017/10/8] biri gerçekten şaşırtıcı sonuç BPP P ile gösterildiği gibi, olacaktır Impagliazzo ve Wigderson , bütün (!) Sorunlara E = DTime olurdu büyüklükteki devreler . Bu sonucu hatırladığı için Ryan'a teşekkürler.$\not\subseteq$ 2 o ( n $[2^{O(n)}]$$2^{o(n)}$

Soru 2: BPP = P'nin neden BPP / poli $\subseteq$ P / poly'nin kanıtı gibi benzer çizgilerle kanıtlanamıyoruz ?

Bir "bariz" engel sonlu vs sonsuz alanı konudur: ikili devreler üzerinde çalışmak sonlu Turing makineleri üzerinde tüm seti çalışacaktır oysa etki $\{0,1\}^*$ ait $0$ - $1$ herhangi bir uzunlukta dizeleri. Bu nedenle, olasılıksal boolean devreleri derandomize etmek için, olasılıklı bir devrenin bağımsız kopyalarının çoğunu almak ve Chernoff'un eşitsizliğini, sendika bağlı ile birlikte uygulamak yeterlidir. Elbette, sonsuz alanlarda, bu basit çoğunluk kuralı işe yaramaz.

Peki bu (sonsuz alan) gerçek bir “engel” midir? İstatistiksel öğrenme teorisi (VC boyut) sonuçlarını kullanarak, zaten olabilir kanıtlamak olduğunu BPP / poli $\subseteq$ P / poli üzerinde çalışan devreler için de geçerlidir sonsuz (bütün gerçek sayılar üzerinde çalışma) aritmetik devreler gibi etki alanları; bkz . Benzer bir yaklaşım kullanırken, tek ihtiyacımız olan poli-zaman Turing makinelerinin VC boyutunun çok büyük olamayacağını göstermektir. Kimse bu ikinci adımı atma girişiminde bulundu mu?

---

Not [ilave 2017/10/7]: derandomization bağlamında, bir sınıf VC boyutu fonksiyonları maksimum sayısı olarak tanımlanmaktadır işlevleri vardır olan olarak , örneğin her için bir nokta vardır ile iFF . Yani nokta kümelerini fonksiyonlar aracılığıyla değil, fonksiyon kümelerini noktalarla paramparça ediyoruz. (VC boyutunun sonuçta ortaya çıkan iki tanımı birbiriyle ilişkilidir ancak üsteldir.)f : X → Y v f 1 , … , f v F S ⊆ { 1 , … , v } ( x , y ) ∈ X × Y f i ( x ) = y i ∈ $F$$f:X\to Y$$v$$f_1,\ldots,f_v$$F$$S\subseteq\{1,\ldots,v\}$$(x,y)\in X\times Y$$f_i(x)=y$$i\in S$

Sonuçlar (bilinen olasılık düzgün yakınsama ) daha sonra aşağıdaki anlamına: Her bir giriş için, eğer , bir rastgele seçilmiş fonksiyonu (bazı olasılık dağıtım altında karşılayan) sabiti için , o zaman , tüm girişlerinde çoğunluk olarak hesaplanabilir bazı (sabit) fonksiyonlar . Bkz. Örneğin Haussler gazetesinde bulunan Corollary 2 . [Bunun tutulması için, üzerinde bazı hafif ölçülebilirlik koşulları vardır .] f ∈ F F P r O , b { f ( x ) = f ( x ) } ≥ 1 / 2 + c c > 0 f ( x ) x ∈ x m = O ( hac ) F $x\in X$$\mathbf{f}\in F$$F$$\mathrm{Prob}\{\mathbf{f}(x)=f(x)\}\geq 1/2+c$$c>0$$f(x)$$x\in X$$m=O(v)$$F$$F$

Örneğin, , boyutundaki aritmetik devrelerle hesaplanabilen tüm polinomlarının kümesiyse, tüm polinomların derecesi en fazla . (Bakınız örneğin polinomlar sıfır desen sayısı bilinen üst sınırları kullanılarak bu çalışmada ), bir VC boyutu olduğu gösterilebilir olduğu . Bu, aritmetik devreler için BPP / poly P / dahil edilmesi anlamına gelir .$F$$f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$$\leq s$$F$$D=2^s$$F$$O(n\log D)=O(ns)$$\subseteq$

Bunun cevabının ne kadar olduğundan emin değilim, sadece biraz ruminasyona kapılıyorum.

Soru 1, P NP hakkında aynı şekilde sorulabilir ve benzer bir cevapla - sonucu kanıtlamak için kullanılan teknikler / fikirler, sonucun kendisinden çok daha büyük bir atılım olacaktır.$\neq$

Soru 2 için biraz bilgi ve fikir paylaşmak istiyorum. BPP = P için sahip olduğumuz neredeyse tüm teknikler ve fikirler, bildiğim kadarıyla, "derandomizasyon" üzerinden geçiyor: Herhangi bir olasılıklı çoklu zamanlı Turing Makinesi göz önüne alındığında, rastgele yerine bir grup belirleyici olarak seçilmiş bitleri beslemek için bir PRG oluşturun öyle ki, davranışları gerçekten rastgele bitlerdeki davranışlarına çok benzer. Bu yüzden yeterince iyi yalancı jeneratörler ile BPP = P elde ederiz. (Goldreich'in "BPP Dünyası = P Dünyası" herhangi bir BPP = P kanıtının buna eşit olması gerektiğine dair kanıt verir.)

Bu hemen hemen BPP P / poly çizgileri boyunca, orada PRG büyü tarafından üretilen tavsiye dizesidir. Belki de Soru 2'nin en iyi cevabı, P'de sihrimiz olmadığı ve tavsiye dizesini kendimiz bulmamız gerektiğidir. Derandomizasyon ayrıca genişletici grafikler gibi araçlar kullanarak 2004 sonucu SL = L'nin arkasındaki fikirdir.$\subseteq$

Şimdi böyle bir kanıtın sadece belirli bir algoritma için ne olacağını düşünün, Miller-Rabin öncelik testi. Miller-Rabin öncelik testine beslemek için bir tamsayı dizisi belirleyen bazı deterministik üreticilerin varlığını gösterecekti, böylece sadece ve bütün tamsayılar geçtiyse, orijinal sayı asaldı.

Anladığım kadarıyla (uzman olmasam da), böyle bir listenin var olup olmadığı ve içindeki sayıların ne kadar küçük olabileceği sorusu (özellikle bazı sınırların altındaki tüm sayıları kontrol etmek yeterliyse) oldukça derin bir soru gibi görünüyor. teorisi ve genelleştirilmiş Riemann Hipotezinin kanıtlama biçimleriyle yakından ilgilidir. Bu soruya bakın . Burada resmi bir ima olduğunu düşünmüyorum, ancak önümüzdeki hafta çok daha genel bir PRG yapısının kazara minyatür bir sonucu olarak almayı umduğumuz bir şey gibi görünmüyor.