Durma Oyununda Denge

Aşağıdaki 2 kişilik oyunu düşünün:

Doğa rastgele bir program seçer
Her oyuncu doğanın hareketine tepki olarak [0, sonsuz] dahil bir sayı çalar
Oyuncuların minimum sayısını alın ve bu kadar adımda (her iki oyuncu da sonsuzluk seçmedikçe) programı çalıştırın (en fazla)
Program durursa, minimum sayıyı oynayan oyuncu 1 puan kazanır. Program durmazsa, oyuncu 1 puan kaybeder. Minimum olmayan bir sayı oynayan tüm oyuncular 0 puan alır ve her iki oyuncu da sonsuzluk oynarsa 0 alır.

(Köşe vakaları, sorunun ruhunu en iyi şekilde koruyacak şekilde ele alınabilir - örneğin, üst yarı süreklilik yardımcı olabilir.)

Soru: Bu oyun hesaplanabilir bir Nash dengesine sahip mi?

Hesaplanabilirlik şartı olmadan, her oyuncu sadece programın durduğu (veya durmazsa sonsuzluk) tam adım sayısını oynatır.

Durma problemi için her zamanki köşegenleştirme argümanını denerseniz, karışık stratejilerde bir denge olduğunu görürsünüz, bu nedenle bariz yaklaşım hemen işe yaramaz. Belki de düzeltmenin bir yolu var mı?

Öte yandan, gerçek kapalı alanların denkliği, hesaplanabilir getirileri olan sonlu oyunların hesaplanabilir dengeye sahip olduğu anlamına gelir . Bu oyun sonlu değil, ancak strateji alanı kapalı ve getiriler hesaplanabilir, bu yüzden belki de aynı hile Glicksberg'in Teoremi veya o damardaki bir şeyle uygulanabilir mi? Sorun, hesaplanabilirlik şartı olmadan, dengenin saf stratejilerde olmasıdır, bu yüzden belki de hesaplanabilir bir dengenin varlığını kullanarak hesaplanabilir bir dengenin varlığını kanıtlamak için yapılan herhangi bir girişim, dengenin neden saftan karmaya indirildiğini açıklamak zorundadır.

Bu, insanların bu soruyu daha önce ele almamış olabileceği, ancak benzer bir şeye bakmış olabileceği gibi bir sorun gibi görünüyor. Çok fazla yükselemedim, ama kimse ruh içinde bir şey biliyorsa, lütfen bana bildirin!

Motivasyon: öz-referansın hesaplanabilirliğin ana bloğu olduğu yaygın bir sezgi vardır - yani herhangi bir hesaplanamayan problem bir şekilde öz-referansı içerir. Eğer kabaca böyle bir oyunda hesaplanabilir bir Nash dengesi varsa, bu sezgi için kanıt sağlayacaktır.

GÜNCELLEME: Açıklığa kavuşturmak için denge, hesaplanabilir reel sayılar anlamında "hesaplanabilir" olmalıdır: karışık strateji dağılımını tanımlayan olasılıklar keyfi hassasiyetle hesaplanabilir olmalıdır. (Sadece son derece çok sayıda olasılığın herhangi bir hassas kesimin üzerinde olacağına dikkat edin.) Bu aynı zamanda denge stratejisinin keyfi olarak yakın bir yaklaşımından örnek alabileceğimiz anlamına gelir.

lo.logic computability gt.game-theory

— John Wentworth
kaynak

Güncellemeniz ayrıca oyunları hesaplanabilir gerçek sayılar olarak mı görüyor? (? yani onlar olsun mıydı değil sayı sonsuzluk olduğunu bilmeden olasılık 1 ile bir numara oynayabilir)

Rakibin dağılımını bilmemize izin var mı?

— Bjørn Kjos-Hanssen

Ricky: oyunlar, hesaplanabilir gerçekler olarak kabul edilebilir, ancak bir program tam sayı olmayan bir sonlu oyuna egemen olacağından, bir tamsayıya kesme, herhangi bir tamsayı olmayan sonlu oyuna egemen olmalıdır. Parantez içindeki örneğinizi anladığımdan emin değilim, bu yüzden sorunuzu yanlış anlayabilirim.

— John Wentworth

Bjørn: Evet. Doğanın dağılımının bilindiğini ve geçerli tüm programlara sıfır olmayan ağırlık koyduğunu varsayın. Ayrıca her oyuncunun diğer oyuncunun stratejisini bildiğini varsayalım (yani dağıtım).

— John Wentworth

@johnwentworth, @ kullanın, ya da yanıtınızı göremezler.

— rus9384

$1/2^i$ $i$ $t$ $j$ $t$ $j$ $j$ $t$

— Lance Fortnow
kaynak

Bu yapıyı seviyorum - herhangi bir Nash dengesinin tüm programlar için doğru oynaması gerektiğini belirler. Dağılımların sadece yüksek hassasiyet (ve dolayısıyla sonsuz hesaplama) sınırında mükemmel performansa yaklaşması gerektiğinden, durdurma sorununu çözdüğünü belirlemek için ek bir adım daha vardır. Çıktının birim ağırlığı bir tamsayıya koyması gerektiğini bildiğimiz için, strateji olasılıklarını 1/4 içinde hesaplamak ve daha sonra hangi tamsayı 1/2'den büyük bir ağırlığa sahip olmak yeterli olduğunu düşünüyorum.

— John Wentworth