Herhangi iki izomorfik olmayan grafik

Çok spesifik olmak istiyorum. Aşağıdaki önermenin kanıtını veya kanıtını bilen var mı?

$\exists p \in \mathbb{Z}[x], n, k, C \in \mathbb{N},$

$\forall G, H \in STRUC[\Sigma_{graph}] (min(|G|, |H|) = n, G \not\simeq H),$

$\exists \varphi \in \mathcal{L}(\Sigma_{graph}),$

$|\varphi| \leq p(n) \wedge qd(\varphi) \leq Clog(n)^k \wedge G \vDash \varphi \wedge H \nvDash \varphi.$

Sezgisel olarak, tüm izomorfik olmayan grafikler " local" ifadeleri kullanılarak ayırt edilebilirse bunun doğru olması gerekir ve bunun yanlış olduğunu düşünürdüm. Elbette, herhangi bir grafik, polinom nicelleştirici derinliği kullanılarak ayırt edilebilir, çünkü grafik modulo izomorfizminizi kolayca belirtebilirsiniz: $Clog(n)^k$

$\varphi = \exists x_1 \exists x_2 \exists x_3 ... \exists x_n (\forall x (\bigvee_{i \in V_G} x = x_i) \wedge (\bigwedge_{(i, j) \in E_G} E(x_i, x_j))) \wedge (\bigwedge_{(i, j) \notin E_G} \neg E(x_i, x_j))) \wedge (\bigwedge_{(i, j) \in V_G^2 \mid i \neq j}x_i \neq x_j).$

Edit: Görünüşe göre ben yerellik sezgi yanlış görünüyor. nicelik derinliği formülü, sınırlanmış Gaifman mevkisine sahiptir , bu da bir günlük derinliği formülünün temelde küresel olduğu anlamına gelir. Bu nedenle, teklifin doğru olacağına dair bir önsezim var, bu benim görüşüme göre kanıtlanması çok daha zor olurdu . $k$ $O(3^k)$

— Samuel Schlesinger
kaynak

Yol ve her biri uzunluğunda iki bağlantısız yol hakkında

\frac{n}{2}

$\frac{n}{2}$

— Samuel Schlesinger

Yol sadece bir derece iki düğüme sahiptir , iki yol dört sahiptir. Yani, sabit boyutlu bir formülle ayırt edilebilirler. Bir daire ile iki daire arasında daha iyi şansınız olabilir, ancak bence nicelik sıralaması formülüyle ayırt edilebilir .

1

$1$

O (\log n)

$O(\log n)$

— Emil Jeřábek

Uzun ağaçlar yapraklara yakın farklıysa çürütme için işe yarayabilir.

— András Salamon

@ EmilJeřábek eşitlik olmadan doğru mu?

— Samuel Schlesinger

@StellaBiderman Eşitlik içermeyen formüllerin gerçekliği, homomorfizmaları yansıtan (yani her iki şekilde ilişkileri koruyarak) amaçlarla korunur. Örneğin, grafikler söz konusu olduğunda, kenarı olmayan iki grafik aynı cümleleri karşılar. Daha genel olarak, herhangi bir grafiği alabilir ve herhangi bir tepe noktasını bağımsız bir kümeye üfleyebilir.

— Emil Jeřábek

Bu cevabı önerdiği için meslektaşım Maxim Zhukovskii'ye teşekkürler.

Yanıtın negatif olduğu ve karşı örnekin oldukça basit olduğu ortaya çıkıyor. Sadece almak ve için ve ve için . (Burada bir -clique ve kümesidir köşe izole edilmiş). Ehrenfeucht oyunu göz önüne alındığında, ilk durumda mümkün olan en az derinliğin ve ikinci durumda . $G=K_m\sqcup \overline{K_m}$ $H=K_{m+1}\sqcup \overline{K_{m-1}}$ $n=2m$ $G=K_m\sqcup \overline{K_{m+1}}$ $H=K_{m+1}\sqcup \overline{K_m}$ $n=2m+1$ $K_s$ $s$ $\overline{K_s}$ $s$ $m$ $m+1$

Bu kağıt gösterilmiştir : "Üst nicelik derinliği sınırlayan grafikler birinci dereceden tanımlanabilirlik" bu sınır yaklaşık sıkı olduğu Oleg Pikhurko Helmut Veith ve Oleg Verbitsky ile ve herhangi iki -vertex grafikleri derinlikte bir formül ile ayırt edilebilir . $n$ $\frac{n+3}{2}$

— Daniil Musatov
kaynak