Belirsiz olmayan polinom zamanında kontrol edilebilen bir grafik özelliğimiz ve özelliğin küçük kapalı olduğunu gösteren zayıf bir resmi sistemde (RCA 0 diyelim ) bir kanıtımız olduğunu varsayalım . Belli bir sınırlı dışlanmış küçükler kümesinin verilen grafik özelliğini karakterize ettiğini kanıtlayabilen resmi bir sistemin gücü hakkında bir şey söyleyebilir miyiz?
Bağlam Kruskal'ın ağaç teoreminin basit bir versiyonunun (iyi sıralı bir dizi etiket olmadan) ATR 0'da kanıtlanamayacağı ve grafik küçük teoreminin prov 1'de bile kanıtlanamayan bir teorinin genelleştirilmesi olduğu iyi bilinmektedir. 1 -CA 0 . Friedman, hızlı büyüyen TREE (n) fonksiyonunu oluşturmak için Kruskal'ın ağaç teoreminin basit versiyonunu ve daha da hızlı büyüyen SSCG (n) fonksiyonunu oluşturmak için küçük teorem grafiğini kullandı . Bunlar, ters matematiksel güçten hesaplamalı içerik hakkındaki sonuçların güzel gösterileridir, ancak bunlar yukarıda sorulan daha doğrudan soruyu cevapsız bırakmaktadır.
Yani, grafik küçük teoremi ile ilgili olarak, o özellik için hariç tutulan küçüklerin listesini biliyorsanız, küçük kapalı özelliklerin deterministik kübik zamanda test edilebileceğinin kanıtıdır. Bu nedenle, belirli bir "kolay" (soruda kesin olarak belirtildiği gibi) küçük kapalı mülk için hariç tutulan tüm minörlerin bulunduğunu kanıtlamanın ne kadar "imkansız" olduğunu merak etmek doğaldır. Bu bir "tekdüze olmayan" bir görev olduğu için, bu görevin "imkansızlığının" hiçbir şekilde grafiğin küçük teoreminin kendisini kanıtlamanın "zorluğu" (yani ters matematiksel güç) ile ilgili olup olmadığı net değildir.
Kruskal'ın ağaç teoreminin basit versiyonu, grafik küçük teoremle tamamen aynı soruları sorduğundan, cevaplar istedikleri takdirde bu daha basit probleme odaklanabilir. Grafik minör teoremini kullandım, çünkü soru bu şekilde daha doğal geliyor. (Bu sorunun MSE veya MSO için, en azından kesin bir cevap alma konusunda daha uygun olması mümkündür. Ancak bu sorunun motivasyonu TCS ile daha ilgilidir, bu yüzden burada sormaya karar verdim.)