Doğal sayılar dışındaki kümelerde hesaplanabilirlik kavramı var mı?

10

Doğal sayılar dışındaki kümelerde hesaplanabilirlik kavramı var mı? Tartışma uğruna, D ile birleştiren setlerinde diyelim . $S$ $\mathbb{N}$

"Evet, onlar formun bu fonksiyonları söylemek cazip gelebilir herhangi bijection olan ve hesaplanabilir bir fonksiyonudur ". İki nedenden dolayı bu tanım konusunda temkinliyim. $g \circ f \circ g^{-1}$ $g$ $\mathbb{N} \to S$ $f$ $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

diğer sayılabilir kümelere göre imtiyazlıdır . Hesaplanabilirliğin tanımlanması söz konusu olduğunda neden özeldir? Herhangi bir ayrıcalıklı kümeye başvurmadan hesaplanabilirliğin "koordinatsız" bir tanımını istiyorum. Herhangi bir ayrıcalıklı temele başvurmadan doğrusal bir cebir kavramının "koordinatsız" tanımını isterim. $\mathbb{N}$ $\mathbb{N}$
seçimi ile ilgili soruları gündeme getirir $g$ . Özellikle $S$ ve patolojik seçimleriyle çelişkiler bulmak mümkün olabileceğinden şüpheleniyorum $g$ . Mesela ben seçersem $S = \mathbb{N}$ ve $g$ olmayan bazı hesaplanabilir bijection gerçekten durum o olduğunu $g \circ f \circ g^{-1}$ tüm hesaplanabilir için hesaplanabilir olan $f$ ?

Tanımda $g$ hesaplanabilir olmasını gerektirmek cazip gelebilir, ancak maalesef bu soru yalvarır.

dışındaki sayılabilir kümelerdeki hesaplanabilirliği tanımlamanın genel bir yolu var mı $\mathbb{N}$ ?

computability

— Tom Ellis
kaynak

1

Eh, bir kenara gelen

, hesaplanabilirlik de sık sık tanımlanır

,

sonlu alfabe olduğunu ... Ama yine, bu tanımlamalar bir farklılık hesaplanabilir eşleşme

(olduğunu, bir yönde kullandığını hesaplanabilir var

tanım ve 's ters kullanılarak hesaplanabilir olduğu

tanım). Kesinlikle bunu yapabilir Böylece nerede,

ve

hem hesaplanabilir, ama ben ... bu daha genel bir soru yalvarıyor katılıyorum

N

$\mathbb{N}$

Σ^{*}

$\Sigma^*$

Σ

$\Sigma$

N \to Σ^{*}

$\mathbb{N} \to \Sigma^*$

N

$\mathbb{N}$

Σ^{*}

$\Sigma^*$

g

$g$

g^{- 1}

$g^{-1}$

— Joshua Grochow

1

Döşeme sistemleri, hücresel otomata, etiket sistemleri vb. Hesaplamalara ne dersiniz?

— Marzio De Biasi

2

diğer sayılabilir kümelere göre imtiyaz etmemeliyiz ? Bunu yapmak için son derece güçlü bir nedenimiz var: CPU'lar, yani hesaplama yapan şey

(veya

üzerinde sonlu dizeler olan aynı şey) üzerinde çalışır. Elbette diğer setleri seçebilirsiniz, ama neden tanımınızı kabul etmelisiniz? Hesaplanabilirlik dediğin şeyin

, yani CPU'lar ile hesaplanması dışında gerçekten olduğu iddiasını nasıl haklıyorsun?

N

$\mathbb{N}$

N

$\mathbb{N}$

B

$\mathbb{B}$

N

$\mathbb{N}$

— Martin Berger

1

@Martin, benim cevap bir tartışma vermek biz ayrıcalık

üzerinde

zaman karmaşıklığı açısından bir ölçüde en azından. Bazı içgözlemler olmadan bunun yanlış olmasının nedeni, aslında sadece modelin eserleri olduğunda bazı sonuçların doğal olduğunu varsayabiliriz.

{0, 1}^{*}

$\{0,1\}^*$

N

$\mathbb{N}$

— Dan Brumleve

1

Dikkatinizi sadece sayılabilir setlerle sınırlamanızın bir nedeni var mı?

— Andrej Bauer

12

Bu soru araştırma düzeyi değildir, ancak cevaplar aldığı için, işleri biraz temizleyebilecek ve referanslar sağlayabilecek bir cevap sunmak istiyorum.

Analiz, cebir ve topolojide hesaplanabilirliği inceleyen bir teorik bilgisayar bilimi alanı vardır. Merkezi öneme sahip gerçek sayılar için hesaplanabilirlik kavramıdır. Aslında Turing'in Turing makineleri hakkındaki orijinal makalesi şu cümle ile başlar:

"Hesaplanabilir" sayılar kısaca ondalık olarak ifadeleri sonlu yollarla hesaplanan gerçek sayılar olarak tanımlanabilir.

Bazen kaynağa geri dönmek işe yarar.

Genel kümelerde hesaplanabilirliği kurmanın birkaç yolu vardır, bunlardan en genel olanlarından biri gerçekleştirilebilirlik teorisidir . Gerçekleşebilirlik teorisi fikri, 1945'ten itibaren Sezgisel Sayılar Teorisinin Yorumlanması Üzerine Kleene'nin makalesine dayanır , ancak o zamandan beri genelleştirildi ve kategori teorisinin iyi bir karışımı ile hesaplanabilirliğin mini bir dalı haline geldi, örneğin Jaap van Oosten'in kitabına bakın. "Gerçekleşebilirlik: kategorik tarafına giriş" (Mantık ve Matematiğin Temelleri, cilt 152, Elsevier, 2008).

$\lambda$ $\mathbb{N}$ $\lambda$

$X$ $\Vdash_X$ $\mathbb{N}$ $X$ $x \in X$ $n \in \mathbb{N}$ $n \Vdash_X x$ $n$ $x \in X$

Verilen iki yapı ve , bir harita bir fark (ya da "hesaplanabilir") Turing makinesi olup olmadığını , örneğin zaman, bu sonra sona erer ve . Yine, bu, gayri "programı" soyut fonksiyonu için ne anlama doğrudan tercüme ile tekabül eden Turing makinesi ne verileri temsil eden için yapar: tekabül eden elemanlara yapar. $(X, {\Vdash_X})$ $(Y, {\Vdash_Y})$ $f : X \to Y$ $T$ $n \Vdash_X x$ $T(n)$ $T(n) \Vdash_Y f(x)$ $f$ $f$

Montajlar gerçekleştirilebilirlik toposuna genişletilebilir . Topos, üst düzey sezgisel matematiğin bir modelidir. Bu bize her gerçekleştirilebilirlik toposunun (her bir hesaplama modeli için bir tane var) çok sayıda ilginç nesne içerdiğini söyler. Örneğin, gerçek sayıların bir nesnesini içerir, bu da bize gerçekler üzerinde hesaplanabilirlik sağlar. Ama aynı zamanda Hilbert uzayları, Banach uzayları, pürüzsüz haritaların uzayları, vb. Gibi başka birçok nesne içerir. Başka bir hesaplanabilir yapı istediniz, ancak çok daha iyi bir şeye sahipsiniz: hesaplanabilirliğin tüm matematiksel dünyaları.

Kategori teorisi ve toposlar korkutucu olabileceğinden ve hesaplanabilirlik teorisi, kategori teorisi ve mantıkta bir miktar teknik yeterlilik gerektirdiğinden, sadece bir somut toposta da çalışabiliriz, ancak her şeyi somut soyut olmayan yollarla ifade ederiz. Özellikle iyi bir hesaplama dünyası, Kleene'in işlev gerçekleştirilebilirliğinden doğar ve hesaplanabilir analiz adı altında yer alır .

"Koordinatsız" gereksinimi hakkında yorum yapmama izin verin:

Hesaplama modelleri arasında geçiş yapmak farklı türde hesaplanabilir dünyalar verir. Bu, farklı lineer cebir türleri veren farklı alanlar arasında geçiş yapmak gibidir.
Bir küme , tıpkı bir vektör kümesinin birçok olduğu gibi, birçok hesaplanabilirlik yapısı ile donatılabilir . Ancak, tüm bazlar eşdeğer olsa da, üzerindeki tüm hesaplanabilirlik yapıları karşılaştırılabilir şekilde eşdeğer değildir. $X$ $\Vdash_X$ $X$
Hesaplanabilirlik yapıları ile somut bir şekilde , bu biraz lineer cebirdeki matrislerle çalışmak gibidir. Çok yararlı olabilir, ancak soyut değildir. $(X, {\Vdash_X})$
"Koordinatsız" bir tarzda çalışmak için, bir gerçekleştirilebilirlik toposunda çalışıyoruz ve kategori teorisinin gücünü kullanıyoruz (evet, bu bir klişe ama işe yarıyor).
Hatta "dünyadan bağımsız" bir tarzda da çalışabiliriz: sezgisel mantıkla matematik geliştirebilir ve daha sonra sonuçları gerçekleştirilebilirlik topolojilerinde yorumlayabiliriz.

— Andrej Bauer
kaynak

Ben seçimi görmüyorum burada seçimi benzer olarak biz vektör alanları düşünebileceği üzerinde alan olarak. Aksine "gerçeklenebilirlik ilişkisi" nin bu kavramı o üzerinde Borel ölçüsünü tanımlayarak ölçülebilir olmanın anlamı tanımlayan bana öyle geliyor ve sonra ölçülebilir bir uzay bir şey" ilan bununla bijects ve ölçülebilir fonksiyon ölçülebilir bir haritanın neden bir şey .

N

$\mathbb{N}$

R

$\mathbb{R}$

R

$\mathbb{R}$

R

$\mathbb{R}$

R \to R

$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$

— Tom Ellis

Ölçülebilir uzaylar doğal olarak (bazı) topolojik uzaylardan ortaya çıkar ve genellikle ayrık olmayanların ile ölçülebilir şekilde izomorfik olduğu teoremidir . İdeal olarak bulmak istediğim, eski yapının hesaplama teorisi analogu. Hesaplayabileceğiniz bir şeye yol açan temel yapı nedir? ile fiat tarafından dayatılan bir yazışma özellikle tatmin edici değil.

R

$\mathbb{R}$

N

$\mathbb{N}$

— Tom Ellis

" " seçeneği yoktur, sadece bir hesaplama modeli seçeneği vardır. " " seçimi ile "Turing makinelerini kullanalım (sayılarla kodlanmış)" demek istiyorsan, benim açımdan şu: hesaplanabilirlik yapısı her seçimi için bir gerçekleştirilebilirlik topos elde edersiniz . Bir alanın her seçim için: Bu benzerdir Eğer kategori olsun üzerinde vektör alanlarının .

N

$\mathbb{N}$

N

$\mathbb{N}$

S

$\mathbb{S}$

R T (S)

$\mathrm{RT}(\mathbb{S})$

F

$F$

{V e c t}_{F}

$\mathrm{Vect}_F$

F

$F$

— Andrej Bauer

Setlere tedbirler koymak gerçekten de setlere hesaplanabilirlik yapıları dayatmaya benzer. Ve her iki durumda da bazı setler kendileriyle ilişkili doğal yapılara sahiptir.

— Andrej Bauer

2

Sevgili Andrej, dikkate aldığınız yanıtlar için teşekkür etmeme izin verin. 20 yıllık bir tecrübeli gaziyenin, sorumu anlamsız olarak kapatmak için oy vermek yerine kendim gibi bir neofitin aydınlanması için zaman alacağı için çok mutluyum. Ayrıca, topos teorisinin ve nLab'daki sayfaların artık araştırma öncesi düzeydekiler tarafından erişilebilir olduğu sonucuna varmaktan memnuniyet duyuyorum.

— Tom Ellis

4

Aşağıdaki iki makale keyfi setler için hesaplanabilirlik kavramını geliştirmektedir. İlginçtir ki bu hesaplama modeli için karmaşıklık teorisi kavramı bile tanımlanabilir.

Cobham Yinelemeli Küme İşlevleri ve Zayıf Küme Teorileri Arnold Beckmann, Sam Buss, Sy-David Friedman, Moritz Müller, Neil Thapen.

Cobham Yinelemeli Küme İşlevleri için Altkümeye Bağlı Özyineleme ve Devre Modeli Arnold Beckmann, Sam Buss, Sy-David Friedman, Moritz Müller, Neil Thapen.

— Mateus de Oliveira Oliveira
kaynak

0

Gerçekler üzerinde karmaşıklık ve hesaplama kavramı vardır. Sizi yönlendireceğim bir ders kitabı: https://www.amazon.com/Complexity-Real-Computation-Lenore-Blum/dp/0387982817

Bunu özellikle inceleyen bir laboratuvar biliyorum: https://complexity.kaist.ac.kr/

— MRC
kaynak

Bu, Halting kehanetinin hesaplanabilir olduğunu ima ettiği için özellikle gerçekçi değildir.

— Andrej Bauer

-1

Bu, Turing makineleri açısından hesaplanabilirliği nasıl tanımladığımıza benzer ve Turing makinelerini hemen unuturuz. Bir Turing makinesinin diğeri kadar iyi bir tanım olduğu ortaya çıktığı için, tüm denklik sınıfı modelleri için bir çapa olarak kullanıyoruz ve hangi elemandan üretsek üretelim, aynı sınıfla sonuçlanıyoruz. Temel olarak bu Church-Turing tezidir ve hesaplanabilir bit dizeleri kümesini tanımlar.

Benzer şekilde, farklı bir setinde hesaplanabilirliği tanımlamak için , onu bit dizelerinden belirli bir kısmi işlevle tutturuyoruz . Aslında bu fonksiyonun bir bijeksiyon veya enjeksiyon veya başka bir fonksiyon türü olması önemli değildir (bunun gerçekten bir enjeksiyon olmasını istemediğimiz bir durumda, sunumumuzda tanımladığımız bir grubu düşünün unsurları için benzersiz bir temsil). Tekli setlerin hesaplanamayacağına izin verirsek bir sapma olması bile gerekmez. Bu işlevi, bit dizelerinden bit dizelerine (önceden tanımlanmış bir kavram) kadar herhangi bir hesaplanabilir bijection ile oluşturarak, için hesaplanabilirlik tanımını alırız $S$ $S$ $S$ başlangıçta seçtiğimiz işleve göre değişmez (makul bir şey seçtiğimiz sürece). Yani, setimiz için bir CT tezi . Ancak makul bir işlev seçmezsek, hesaplanabilirliğin farklı bir tanımını elde ederiz. $S$

Bu fonksiyon ayrıca eşit etki alanı veya aralığı olan diğer işlevlerin hesaplanabilirliğini tanımlamaya yarar . Aralığı değiştirerek olarak alan tutma , aynı zamanda, bir elde için Kolmogorov karmaşıklık -invariant tanımı . Son olarak, seçtiğimiz fonksiyonun kendisinin hesaplanabilir olduğunu söyleyebiliriz. $S$ $S$ $\{0,1\}^*$ $O(1)$ $S$

Bence sorunuzun cevabı HAYIR. Bahsetmek istediğimiz her set için hesaplanabilirliği tanımlamamız gerekiyor, çünkü eşdeğer olmayan tanımlar var. Çok teknik veya pedagojik bir tartışmanın yanı sıra, gerekli olmamalıdır, çünkü makul bir kişi makul bir tanımı bağımsız olarak hayal edebilir.

Ama durun, sınırsız sonsuz bir küme olmasına izin verin , hepsi bu. için hesaplanabilirliğin makul tanımı nedir ? ve arasındaki bijeksiyon kümesinin boş olmadığını bilmek bize hangisinin makul olduğunu söylemez. Daha fazla ayrıntı olmadan şansımız kalmadı. $S$ $S$ $S$ $\{0,1\}^*$

Ve çok eşitsiz ama eşit derecede makul alternatiflerle karşılaşabiliriz. Her ağacın bir takım kırmızı yaprakları ve bazı yeşil yaprakları olduğunu ve her için kırmızı yaprakları olan tam bir ağaç olduğunu ve her ile bir ağaç tam olarak vardır yeşil yaprakları. Her iki bijections biz yaprakları saymak ve renkleri ayırt edebilir anlamda makul ve tam olarak sahip ağacı bulana kadar ağaçların yapraklarını sayma ormanda etrafında amaçsızca yürüyebilir yeşil yaprakları veya olanı $r \in \mathbb{N}$ $r$ $g \in \mathbb{N}$ $g$ $23$ $23$ Kırmızı yapraklar. Bir ağacın kırmızı yaprak sayısını veya yeşil yaprak sayısını kullanarak tanımlayıp tanımlamaması net değildir, çünkü bu seçim ağaç kümeleri için eşitsiz hesaplama tanımlarına yol açar. Bunun yerine bir hesaplanabilir eşleştirme işlevi örten ile sayımları birleştirerek tanımlama yapmak durumunda için (üzerine uygun şekilde tanımlanmış bir hesaplanabilirliği sahip de benzersiz bir şekilde tanımlayan) ağaç, ancak durum daha da kötüdür, çünkü bu ağaçlar ve arasında bir bijection değildir , şimdi belki de tüm hesaplanabilir ağaç setleri sonludur! $\mathbb{N}^2$ $\mathbb{N}$ $\mathbb{N}^2$ $\mathbb{N}$

Dolayısıyla, tüm tartışmayı önlemek için, sadece söz konusu sette hesaplanabilirliğin makul bir tanımı olduğu değil, aynı zamanda tam olarak bir sınıf makul tanımların olduğu da anlaşılmalıdır.

Resme zaman karmaşıklığı getirirsek, durum çok daha ilginç hale geliyor. Sadece tam sayıları düşünürken bile, seçimlerimiz daha önemli. Örneğin, her sayıyı dört karenin toplamı olarak temsil etmek istersek ne olur? Temel temsilden başlayarak, rasgele erişime sahip beklenen ikinci dereceden zamanda böyle bir temsil bulabiliriz. Ya da bunun yerine, polinom zamanında hesaplanması mümkün olan veya olmayan asal faktörlerin bir listesi olarak. Sert temsillere izin verdiğimiz ölçüde, zaman karmaşıklığında hassasiyet kaybederiz. Örneğin, anlamlı diyemeyiz bazı fonksiyon biz bir temsilini varsa kuadratik sürede hesaplanabilir olduğu $F:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ $\mathbb{N}$ temel temsile dönüştürmek veya bu temsile dönüştürmek için ikinci dereceden fazla zaman gerektirebilir. Bence bu bakış açısı, temel temsilin biraz keyfi bir standart olduğunu ortaya koyuyor. ( Temel model, " " ikinci dereceden hesaplanıyorsa "gibi bir şey söylediğinde akılda şey olduğu anlamında standarttır. dizeleri bit dizelerinden alırsak, anlamını çıkarmamız gerekir.) $F:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$

— Dan Brumleve
kaynak