Rice teoreminin açıklayıcı bir karmaşıklık versiyonu AC0 ve PSPACE'i ayırmak için kullanılabilir mi?

Gelen bu soruya , bu Rice'ın teoremin açıklayıcı karmaşıklığı versiyonları olduğu belirtilmişti. Aşağıdaki teoremin bir kanıtı buldum:

Bir karmaşıklık sınıf Verilen C , dillerin nontrivial özellikleri C de hesaplanamaz C

Daha önce bulduğum kanıtları yayınlamıştım, ama çok uzun olduğu ve yorumlarda bu makalenin zaten bu teoremin bir kanıtını içerdiği belirtildiğinden, kaldırdım. (Herhangi bir nedenle kanıtımı görmek konusunda umutsuzsanız, lütfen bu sorunun önceki revizyonlarına bakın.)

İlgim bu teoremin AC0 ve PSPACE'yi ayırmak için kullanıp kullanamayacağıdır. İşte argüman:

Aşağıdaki gibi tanımlanan AC0 karmaşıklık sınıfının P özelliğini göz önünde bulundurun :

P : belirli bir sabit yapıyı kabul eden bir FO sorgusu olma özelliği, yani bir elemandan oluşan yapı, fonksiyon yok, sabit yok ve ilişki yok

Açıkça, yukarıdaki teorem ile P , ACO'da karar verilemez; FO sorgularının önemsiz bir özelliğidir.

Bununla birlikte, küçük bir inceleme, bir FO sorgusunun böyle basit bir yapıyı kabul edip etmediğinin hesaplanmasının TQBF kadar kolay karar verilebileceğini göstermelidir; bu nedenle P , PSPACE'de karar verilebilir.

Bu noktada netliği sağlamak için ( P , PSPACE'de hesaplanabilir): İlgilendiğimiz mülkün yapının FO olmasını gerektirdiğini unutmayın. Bu nedenle, tek elemanlı bir yapı üzerinde ilişkisiz çalışan bir FO sorgusunun kabul edilip edilmediğini belirlemeye çalışıyoruz. Ele alınacak bir ilişki olmadığı için, böyle bir FO sorgusuna karar verme görevinin bir TQBF örneğine karar vermeye eşdeğer olduğu açık olmalıdır; hiçbir ilişki yoktur, bu yüzden geriye kalan tek zorluk, ölçülen boole formülünün doğru olup olmadığını değerlendirmektir. Bu temelde sadece TQBF'dir, bu nedenle P PSPACE'de hesaplanabilir.

Çünkü P AC0 Pspace içinde değil hesaplanabilir, biz o AC0! = Pspace sonuçlandırmak gerekir. Bu muhakeme doğru mu, yoksa bir yerde hata mı yaptım? Özellikle önceki paragraftan endişe duyuyorum; Fuar hakkında biraz daha düşünmeye fırsat bulduktan sonra yarın tartışmayı açıklığa kavuşturmaya ve güncellemeye çalışacağım.

Bir yanıt olarak tanımladığım, tek elemanlı, ilişkisiz yapı açıkladığım, açıkça bir TQBF örneği olarak anlamsız bir FO sorgu örneği kabul ediyorum. (Bir tane olmadığını öneriyorum, bu yüzden bir tane olduğunu gösterebiliyorsanız, bu bir karşı örnek olacaktır.)

Teşekkürler.

Karmaşıklık sınıfındaki (indeksleme) kümelerinin önemsiz özelliklerine karar vermek, sınıf için evrensel işlevin grafiğini hesaplamak kadar zordur. Sezgisel olarak bu, önemsiz bir mülke karar vermenin tek yolunun makineleri simüle etmek ve cevapları beklemek olduğu anlamına gelir. Bana öyle geliyor ki böyle bir mülkü kullanma fikri sadece hiyerarşi teoremleri tarafından bilinenleri verecektir. (Ayrıntılar ve teoremin kesin ifadesi için D. Kozen, “ Yeraltı sınıflarının endekslenmesi ”, 1978 , 4.2 .

Biz karar verebilir (evrensel fonksiyonun grafiğini olarak) , sebebi basitçe olmasıdır ve biz diller için evrensel bir makine var içinde o yüzden, deki makinelerini (veya sorguları olan açıklayıcı karmaşıklık eşdeğerini) simüle etmek kolaydır . Bu, belirttiğiniz mülke karar verebileceğimiz anlamına gelir . Önemsiz bir özellik olduğu için karar verilemez . Bu argüman ayıran Yani dan$grU_{AC^0}$$AC^0$$PSpace$$AC^0 \subseteq L$$L$$PSpace$$AC^0$$AC^0$$FO$$PSpace$$PSpace$$AC^0$$AC^0$$PSapce$.

Ama bu şaşırtıcı mı? Hayır, zaten aynı argümanı (aslında) belirtmenin daha basit bir yolunu bildiğimiz için: , son uygun dahil etme boşluk hiyerarşi teoremidir.$AC^0 \subseteq L \subset PSpace$