Bu grafik sorununun karmaşıklığı nedir?

Basit bir yönlendirilmemiş grafik verildiğinde , köşelerin alt kümesini bulun , öyle ki $G$ $A\neq \emptyset$

herhangi bir tepe noktası komşuları içinde en az yarısı en de vardır , ve $x\in A$ $x$ $A$
boyutu minimumdur. $A$

Yani, her iç tepe noktasının mahallesinin en az yarısının içsel kaldığı bir küme arıyoruz. Böyle bir kümenin varlığı açıktır, çünkü tüm köşe kümesi her zaman 1 özelliğine sahiptir. Ama böyle en küçük (boş olmayan) kümeyi bulmak ne kadar zor? $V(G)$

Bu sorun için standart bir isim var mı? Karmaşıklığı hakkında bilinenler nelerdir?

graph-theory graph-algorithms np-hardness

— Andras Farago
kaynak

Tatmin Edici Bölümleme sorununun bir varyantı gibi görünüyor . Varyantınızın bilinip bilinmediği ve NPC olduğu kanıtlanmış mı bilmiyorum; ancak muhtemelen K-clique bir indirgeme çalışması gerekir: bağlantısı, her düğüm

orijinal grafik için

bir düğümleri

boyutu "dış klik"

(her bir düğüm dış klik vardır). O zaman

boyutunda önemsiz olmayan bir

kümesi ve sadece

v_{i}

$v_i$

k + 1

$k+1$

C_{i}

$C_i$

2 (k + 1)

$2(k+1)$

A

$A$

k

$k$

k

$k$ -clique orijinal grafikte bulunur (en az bir düğüm seçmelisiniz, ancak herhangi bir harici klipten kaçınmalısınız). Ancak bu sadece bir fikirdir; eğer yeterli zamanım olursa azaltmanın doğru olup olmadığını görmeye çalışacağım.

— Marzio De Biasi

@MarzioDeBiasi Teşekkür ederim, bazı aramalardan sonra Tatmin Edici Bölümleme Sorununun gerçekten ilişkili olduğunu öğrendim. Ancak, bulabildiğim her varyantta, tek bir set yerine bir bölüm ararlar . Nasıl ilişkili oldukları açık değildir. İndirgenmenizde, bir şeyi yanlış anlamadığım sürece , orijinal grafiğin

kipi tanımı tatmin etmez, çünkü içindeki her düğümün

dahili komşusu olacak, ancak eklenen harici nedeniyle en az

harici komşusu olacak klikler.

k

$k$

k - 1

$k-1$

k + 1

$k+1$

— Andras Farago

Bence bu problem “savunma ittifakı” olarak biliniyor

— daniello

@daniello: harika, ankette araştırdım IG Yero, JA Rodriguez-Velazquez, "Grafiklerde savunma ittifakları: bir anket", 2013 ama "yarım" kelimesini bulamadım; yeterince zamanım olduğunda dikkatle okuyacağım; muhtemelen OP probleminin alredy biliniyor!

— Marzio De Biasi

Yuvarlanmaya kadar olan sorudakiyle aynı olan ve muhtemelen köşenin sayıya dahil edilmesi / dahil edilmemesi gibi "her tepe noktasında en az dışta olduğu kadar çok komşu var" şeklinde formüle edilmiş gibi görünüyor

— daniello

Bu, Clique'tan sorununuza bir azalmadır.

Bir Clique örneğiyle başlıyoruz: bir grafik ve tamsayısı , . $G$ $k$ $V = \{ v_1, v_2,...,v_n\}$

Klips, (kanıt çizimi: eğer Daha sonra eklemek burada $max(deg(v_i)) \leq 2(k-1)$ $max(deg(v_i) > 2(k-1)$ $K_t$ ekleyin ve tüm düğümlerine bağlayınve yeni grafikte boyutunda bir kırpma isteyin). $t = 2(k-1) - max(deg(v_i))$ $G$ $k' = k + t$

O olarak kabul Böylece , . Her bir düğüm için olan biz klik "dış" oluşturmak boyutu arasında (her düğüm, $G$ $max(deg(v_i)) \leq 2(k-1)$ $v_i$ $deg(v_i) < 2(k-1)$ $C_i$ $2(k+1)+1$ klikinde en az komşu vardır). $C_i$ $2(k+1)$

Eğer derecesidir , biz bağlantı için bir düğüm . $deg(v_i)$ $v_i$ $v_i$ $2(k-1) - deg(v_i)$ $C_i$

Sonuçtaki , her derece ; yani çünkü en az bir tepe noktası seçilmelidir. $G'$ $v_i$ $2(k-1)$ $|A| \geq k$

Tepe noktası biri ise açıktır dahildir daha sonra en az düğümleri de içine sokulmuş olmalıdır. Not bir orijinal düğüm varsa sonra bağlanmış en az bir düğüm dahil edilmelidir, giden . $C_i$ $A$ $2(k+1)/2 = k+1$ $deg(v_i) < k-1$ $C_i$ $|A| > k$

Böylece minimum boyutlu bir kümesi oluşturabiliriz ve yalnızca , boyutunda bir klikse içeriyorsa . $A$ $|A| = k$ $G$ $k$

Sarı düğümler ve kalın kenarlarla temsil edilen grafiğinin boyutunda (üçgen) olup olmadığını sorduğumuz azaltma örneği . $G$ $k = 3$

(Daha iyi okunabilmesi için gruplandırılmış) mavi düğümleri olan kırmızı kenarları düğümleri arasındaki bağları ifade ile . $K_9$ $G$ $deg(v_i) < 2(k-1)$

— Marzio De Biasi
kaynak

@WillardZhan:

nin her tepe noktasının inşaat yoluyla derecesi

olduğu için,

bir köşe noktası içeriyorsa, en az

komşu içermelidir (ve aynı

tüm köşeleri için geçerlidir , yani

. "Minimum boyut"

yalnızca

boyutunda bir klikse elde edilebilir .

G^{'}

$G'$

\geq 2 (k - 1)

$\geq 2(k-1)$

A

$A$

2 (k - 1) / 2 = k - 1

$2(k-1)/2 = k-1$

A

$A$

| A | \geq k

$|A| \geq k$

k

$k$

A

$A$

k

$k$

— Marzio De Biasi

@WillardZhan: Başlangıç klibi sorununa başka bir koşul ekledim (ancak NPC olarak kalmalı) ... Hala kontrol ediyorum (tamamen doğru olduğuna ikna olmadım).

— Marzio De Biasi

Evet, şimdi mükemmel çalışıyor (gerçi

ifadesinde

olmalı ). Belki yorumlarımı silebilirim?

k^{'}

$k'$

t

$t$

— Willard Zhan

@WillardZhan: Doğru olduğunu düşünüyorum, çünkü bu paragrafta Clique [örnek

] 'den Clique + kısıtı

[örnek

, kısıtlamayı sabitleyen yeni Clique örneğini almak için G'ye eklenecek düğümlerin (klik) sayısıdır.

(G, k)

$(G,k)$

m a x (d e g (v_{i})) \leq 2 (k - 1)

$max(deg(v_i)) \leq 2(k-1)$

(G^{'}, k^{'})

$(G',k')$

t

$t$

— Marzio De Biasi