Normal dillerin dahil edilmesinin parametreli karmaşıklığı

Klasik sorun DÜZENLİ DİL KAPSAMI ile ilgileniyorum. Düzenli bir ifadesi verildiğinde , ile ilişkili normal dili belirtiriz . (Düzenli ifadeler , operasyon birliği, Kleene-star ve birleştirme ile sabit bir alfabe üzerindedir .) $E$ $L(E)$ $\Sigma$

Girdi: İki düzenli ifadeler ve Soru: Bu doğru mu ? $E_1$ $E_2$
$L(E_1)\subseteq L(E_2)$

DÜZENLİ DİL KAPSAMININ PSPACE-complete olduğu bilinmektedir [1].

Klasik yolu (Pspace olarak) NFA'ler oluşturmak için çözmek için ve ilişkili ve DFA oluşturmak için, gelen , bir DFA içine tamamlayıcı ve son olarak, kesişme otomat oluşturmak dan ve kesişimine karşılık gelen ve . Şimdi eğer ve sadece kabul eden bir yol . $A_1$ $A_2$ $E_1$ $E_2$ $D_2$ $A_2$ $D_2^C$ $A_P$ $A_1$ $D_2^C$ $L(E_1)$ $L(E_2)^C$ $L(E_1)\subseteq L(E_2)$ $A_P$

Yanılmıyorsam takdirde, tüm süreç zaman polinom zamanlı olarak yapılabilir sabit dildir, sadece üstel darbe yükseltme dönüşümü geliyor beri içine . Daha da iyisi,, uzunluğu . $E_2$ $A_2$ $D_2$ $|E_2|$ $E_2$

Bu sorumu motive ediyor:

Soru: Ne zaman $E_1$ sabit ifadesidir, DÜZENLİ DİL İÇERME karmaşıklığı nedir? PSPACE-complete kalır mı?

[1] LJ Stockmeyer ve AR Meyer. Üstel zaman gerektiren kelime problemleri: ön rapor. Beşinci yıllık ACM Bilgi İşlem Teorisi Sempozyumu, STOC '73, ss. 1-9.

Not: Alanında uzman olmayan bir kişi olarak, [1] 'i (ve o zamanın ilgili makalelerini) oldukça okunaksız buluyorum ve PSPACE eksiksizliğinin başka bir kanıtını bulamadım - örneğin, bir kitap, çok açığız! Ayrıca, yazarlar, bugünlerde oldukça standart olmayan normal ifadelerinde kare çekmeye izin veriyor gibi görünüyor.)

— Florent Foucaud
kaynak

Dil evrenselliği (örn. E1 = Sigma *) PSPACE-tamamlanmış olduğundan PSPACE-tam kalır.

— Denis

Btw kareye izin verme sorunu EXPSPACE-tamamlandı yapar, bahsettiğiniz sonuçlar karesi olmadan.

— Denis

İçin

, bu sabit zamanda çözümlenebilir. İçin

sabit bir dize için

, bu polinom zamanda çözümlenebilir. İçin

o Pspace-tamamlandı. Problemin

tamamlaması olacak şekilde bir

var mı ?

E_{1} = \emptyset

$E_1 = \emptyset$

E_{1} = w

$E_1 = w$

w

$w$

E_{1} = Σ^{*}

$E_1 = \Sigma^{*}$

E_{1}

$E_1$

N P

$NP$

— Michael Wehar

Tamam teşekkürler! @Denis, lütfen bir cevaba dönüştürün (referansla) ve kabul edeceğim!

— Florent Foucaud

@MichaelWehar: Bazı coNP-complete vakaları burada kanıtlanmıştır, ( doi.org/10.1137/080743457 ) ancak sabit diller için değil (çok sınırlı dil sınıfları için )

— Florent Foucaud

Belirli bir dil evrensellik durumu (tüm kelimeler kabul edilir mi?) Düzenli ifadeler veya NFA'lar için PSPACE-tamamlanmıştır. Sorunuzu cevaplıyor: genel olarak sorun, sabit için bile PSPACE-complete olarak kalıyor , çünkü dil evrenselliği değerine karşılık geliyor . $E_1$ $E_1=\Sigma^*$

Gerçekten folklor olarak kabul edildiğinden, düzenli ifade evrenselliği için modern okunabilir bir PSPACE sertlik kanıtı bulmak gerçekten zordur. İşte kanıtı yeniden oluşturmanıza izin veren hızlı bir kanıt şeması:

polinom boşluğunu kullanarak alfabede bir Turing Makinesi düşünün ve için bir giriş kelimesi olsun . Tüm kelimeleri yalnızca üzerinde kabul eden bir çalışması yoksa kabul eden normal bir ifade oluşturacağız . $M$ $\Sigma$ $p(n)$ $w\in\Sigma^*$ $M$ $e$ $M$ $w$

biçimindeki sözcüklerden oluşan dilini düşünün , burada her tam olarak uzunluğunda bir yapılandırmasıdır , ile ilk yapılandırmadır . bant, kabul edilir ve her bir , geçerli bir geçiştir . bir kelime $L_M$ $\$C_0\$ C_1\$\dots\$ C_f\$$ $C_i$ $M$ $p(n)$ $C_0$ $w$ $C_f$ $C_i\to C_{i+1}$ $M$ , kabul eden bir çalışmasını tarif eder. $L_M$ $M$

Biz inşa alfabe üzerinde böyle pek başarılı olmayan sözcükler kabul tanımının ihlali bakarak, . İfadesi büyük bir ayrılma olacak her biri ihlali farklı bir tür arar. Örneğin $e$ $\Sigma'=\Sigma\cup\{\$\}$ $e$ $L_M$ $L_M$ $e$ $e_1+e_2+\dots+e_k$ $e_i$ , her bir tam olarak boyutuna sahipolduğu gerçeğinin ihlali arar. En zor kısmı arasında bir ihlali tahmin edilmektedir ve sentezleme yerel desen karşılaştırabilirsiniz: ve kendi görüntü kullanarak,

e_{1} = (Σ^{'})^{*} $ (Σ^{< p (n)} + Σ^{> p (n)}) $ (Σ^{'})^{*}

$e_1=(\Sigma')^*\$(\Sigma^{<p(n)}+\Sigma^{>p(n)})\$(\Sigma')^*$

C_{i}

$C_i$

p (n)

$p(n)$

C_{i}

$C_i$

C_{i + 1}

$C_{i+1}$

C_{i}

$C_i$

C_{i + 1}

$C_{i+1}$

yerel kalıpları için ifadesidir. Bununla, yerel bir model üzerinde

geçiş fonksiyonununihlali veya bu modelin dışındaki kimliğin ihlali olduğunutahmin edebiliriz. Sonunda,

elde ederiz.

t (Σ^{'})^{p (n)} t^{'}

$t(\Sigma')^{p(n)}t'$

t

$t$

t^{'}

$t'$

M

$M$

L (e) \neq (Σ^{'})^{*} ancak ve ancak L_{M} \neq \emptyset ancak ve ancak M kabul eder w

$L(e)\neq (\Sigma')^*\text{ if and only if }L_M\neq\emptyset\text{ if and only if $M$ accepts }w$ bu nedenle keyfi bir PSPACE problemini düzenli ifadenin evrenselliğine indirgedik (polinom olarak). Bazı ayrıntıları dışarıda bıraktım, ancak bu tam bir kanıt oluşturmanıza izin vermelidir.

Tabii ki, yorumlarda Michael Wehar tarafından belirtildiği gibi, diğerleri için sorun daha basit olabilir. Bu sorunun karmaşıklığının sınıflandırılması, bu yazıda [1] denklik, çevreleme ve örtme açısından kapsamlı bir şekilde incelenmiştir . Bu cevapta denklik problemi için sonuçların bir özetini görebilirsiniz (NP-tamamlanmış vakalar vardır). $E_1$

Kareleme konusundaki görüşünüze gelince: düzenli ifadelerde kareye izin vermek, içerme ve evrensellik problemini EXPSPACE-complete yapar [2]. Bunun yukarıdaki kanıt şemasında görülebildiğine dikkat edin, çünkü şimdi ikili ayrışma kullanarak logaritmik boyutlu bir ifade ile ifade edilebilir, böylece üstel bir gidebiliriz polinom ifadesinin boyutunu korurken. $(\Sigma')^{p(n)}$ $p(n)$ $p(n)$

[1] Düzenli ve bağlamsız diller için eşdeğerlik, sınırlama ve örtme problemleri üzerine Harry B.Hunt, Daniel J.Rosenkrantz, Thomas G.Szymanski. Bilgisayar ve Sistem Bilimleri Dergisi. Cilt 12, Sayı 2, Nisan 1976, Sayfa 222-268

[2] Kareli düzenli ifadeler için denklik problemi üstel boşluk gerektirir . Meyer, AR ve L. Stockmeyer. 13. IEEE Anahtarlama ve Otomata Teorisi Sempozyumu, Ekim 1972, s.125–129.

— Denis
kaynak

Vay canına, referansları paylaştığın için çok teşekkür ederim !! Bu temiz !! :)

— Michael Wehar

Bir meslektaşım beni bu tür normal dil ve otomata problemleriyle

— ilgilenen