Rastgele bir sıralama ağının çalışması olasılığı

Verilen girişler , biz rastgele sıralama ağını inşa iteratif iki değişken seçerek kapıları ile ve karşılaştırma kapısı ekleyerek bu takasları onları eğer . $n$ $x_0, \ldots, x_{n-1}$ $m$ $x_i, x_j$ $i < j$ $x_i > x_j$

Soru 1 : Sabit için, ağın olasılık ile doğru sıralayabilmesi için ne kadar büyük olması gerekir $n$ $m$ ? $> \frac{1}{2}$

En az alt sınır çünkü her ardışık çiftin yer değiştirmesi dışında doğru sıralanan bir giriş, her çiftin karşılaştırıcı olarak seçilmesi için sürecektir. . Muhtemelen daha fazla faktörü olan üst sınır da bu mu? $m = \Omega(n^2 \log n)$ $\Theta(n^2 \log n^2)$ $\log n$

Soru 2 : Belki de daha yüksek olasılıklı yakın karşılaştırıcılar seçerek, sağlayan bir karşılaştırıcı kapılarının dağılımı var mı ? $m = \tilde{O}(n)$

sorting-network

— Geoffrey Irving
kaynak

Sanırım biri

üst sınır her seferinde bir giriş bakarak ve sonra sendika sınırlama alabilirsiniz, ama bu dar olmaktan uzak geliyor.

O (n^{3} l o g^{O (1)})

$O(n^3log^{O(1)})$

— daniello

Soru 2 için Fikir:

derinliğine sahip bir sıralama ağı seçin

. Her adımda, sıralama ağının kapılarından birini rastgele seçin ve bu karşılaştırmayı yapın. Sonra

adım, birinci tabaka tüm kapılar uygulanmış olur. Başka bir

adımından sonra, ikinci katmandaki tüm kapılar uygulanacaktır. Bunun monotonik olduğunu gösterebilirseniz (sıralama ağının ortasına ekstra karşılaştırmalar eklemek zarar veremez),

ile bir çözüm elde etmiş olursunuz

O (\log^{2} n)

$O(\log^2 n)$

\tilde{O} (n)

$\tilde{O}(n)$

\tilde{O} (n)

$\tilde{O}(n)$

\tilde{O} (n)

$\tilde{O}(n)$ ortalama olarak karşılaştırıcılar. Yine de, monotikliğin gerçekten geçerli olup olmadığından emin değilim.

— DW

@DW: Tekdüzeliğin mutlaka olması gerekmez. Düşünün sekanslar

Dizi

çalışır;

yapmaz (girişi düşünün (1, 0, 0)). Fikir şu ki

\begin{array}{rcl} s & = & (x_{1}, x_{2}), (x_{0}, x_{2}), (x_{0}, x_{1}); \\ s^{'} & = & (x_{1}, x_{2}), (x_{0}, x_{1}), (x_{0}, x_{2}), (x_{0}, x_{1}) . \end{array}

$\begin{eqnarray*} s &=&(x_1, x_2), (x_0, x_2), (x_0, x_1);\\ s'&=&(x_1, x_2), \mathbf{(x_0, x_1)}, (x_0, x_2), (x_0, x_1).\end{eqnarray*}$

s

$s$

s^{'}

$s'$

(x_{0}, x_{2}), (x_{0}, x_{1})

$(x_0, x_2), (x_0, x_1)$

dışında aldığı girdileri sıralar ( buraya bakın ). S

, bu giriş

değerine ulaşamaz . In

olabilir de.

(0, 1, 0)

$(0, 1, 0)$

s

$s$

(x_{0}, x_{2}), (x_{0}, x_{1})

$(x_0, x_2), (x_0, x_1)$

s^{'}

$s'$

— Neal Young

Her adımda rastgele iki bitişik değişken

seçerek ağın seçildiği varyantı düşünün . Şimdi monotonluk geçerlidir (bitişik takaslar tersine dönme yaratmaz). Bir dW fikri @ uygulama tek-çift sıralama ağ sahiptir,

mermi: tek turda tüm bitişik çiftleri karşılaştırır

tüm bitişik çiftleri karşılaştırır da turlarda, tek bir

olduğunu bile. Bu ağı "içerdiği" için rastgele ağ

karşılaştırmalarında doğrudur . (Yoksa bir şey mi kaçırıyorum?)

x_{i}, x_{i + 1}

$x_i, x_{i+1}$

n

$n$

i

$i$

i

$i$

O (n^{2} \log n)

$O(n^2\log n)$

— Neal Young

Bitişik ağların tekdüzeliği:

için

tanımlayın . Ki

ise

(

a, b \in {0, 1}^{n}

$a, b\in\{0,1\}^n$

j \in {0, 1, \dots, n}

$j\in\{0,1,\ldots,n\}$

s_{j} (a) = \sum_{i = 1}^{j} a_{i}

$s_j(a) = \sum_{i=1}^j a_i$

a ⪯ b

$a\preceq b$

s_{j} (a) \leq s_{j} (b)

$s_j(a) \le s_j(b)$

\forall j

$\forall j$ ). "

" karşılaştırmasını düzeltin . Let

gelen

bu karşılaştırmayı yaparak. İstem 1. ve . İddia 2: eğer , o zaman . Daha sonra indüktif gösterir: eğer

karşılaştırma dizisi sonucudur

girişi

x_{i} < x_{i + 1}

$x_i < x_{i+1}$

a^{'}

$a'$

b^{'}

$b'$

a

$a$

b

$b$ $a' \preceq a$ $b' \preceq b$ $a\preceq b$ $a' \preceq b'$

y

$y$

s

$s$

x

$x$ Ve

süper dizisi sonucudur

ile

, o

. Yani

sıralanırsa,

da sıralanır .

y^{'}

$y'$

s^{'}

$s'$

s

$s$

x

$x$

y^{'} ⪯ y

$y' \preceq y$

y

$y$

y^{'}

$y'$

— Neal Young

DW'nin bitonik sıralamaya uyguladığı fikrine dayanan soru 2 için bazı ampirik veriler. İçin değişkenleri, tercih orantılı olasılık ile , ardından bir karşılaştırıcı için rastgele homojen . Bu, eğer 2 gücünde ise karşılaştırıcıların bitonik olarak dağılımıyla eşleşir ve aksi takdirde yaklaşır. $n$ $j - i = 2^k$ $\lg n - k$ $i$ $(i,j)$ $n$

Bu dağılımdan çekilen belirli bir sonsuz kapı dizisi için, birçok rastgele bit dizisini sıralayarak bir sıralama ağı elde etmek için gereken kapıların sayısına yaklaşabiliriz. İşte söz konusu tahmindir ortalama devralarak ile kapı dizileri sayımı tahmini için kullanılabilen bit dizilerinin: maç için görünür , bitonic tür ile aynı karmaşıklık. Eğer öyleyse, biz fazladan yemiyorum dolayı her kapının karşısında gelme kupon kollektör sorununa faktör. $n < 200$ $100$ $6400$ $\Theta(n \log^2 n)$ $\log n$

$6400$ $2^n$ $n = 199$ $6400$ $64000$ $640000$ $14270 \pm 1069$ $14353 \pm 1013$ $14539 \pm 965$

$n = 80$ $d = j-i$ $d \in [1,\frac{n}{2}]$ $\frac{\log n - \log d}{d}$ $\Theta(n \log^2 n)$

— Geoffrey Irving
kaynak

2^{n}

$2^n$

2^{n}

$2^n$

n

$n$

n = 20

$n=20$

n = 30

$n=30$

— Joshua Grochow

n = 27

$n = 27$

n = 80

$n = 80$

\log n

$\log n$

\log n

$\log n$

\log n

$\log n$

\lg n \approx 6

$\lg n \approx 6$

1

$1$