G [M] koşuluyla maksimum M eşleşmesi 2K_2 içermez

Literatürde aşağıdaki probleme yakın bir şey var mı:

İki taraflı bir grafik verildi $G(V,E)$ dengeli iki bölümlü $\{U,W\}$ , mükemmel bir eşleşme var mı $M$ içinde $G$ öyle ki her 2 kenar için $u_1w_1, u_2w_2\in M$, bir kenar var $u_1w_2$ veya kenar $u_2w_1$ (veya her ikisini de) $G$?

Başka bir deyişle, mükemmel bir eşleşme var mı? $M$ indüklenen alt paragrafın $G[M]$ dır-dir $2K_2$-Bedava. (Dengeli iki bölümlü, yani$|U|=|W|$.)

Ekstra koşul, uyarılmış eşleştirme probleminde kullanılanın tersi bir şeydir. Muhtemel bir başka ilişkili olan, maksimum boyut eşleşmesini bulma sorunudur$M$ iki taraflı grafikte $G$ öyle ki kenarlardaki büzülme $M$ grafikte kalan kenar sayısını en aza indirir.

Plummer tarafından Eşleştirme ve tepe noktası paketlemesinde verilen ilgili sorunların listesini kontrol ettim : ne kadar zorlar? başarısız.

Not: Bu sorun, bu karar sorununun özel bir durumudur: - Belirli bir $k\in\mathbb{N}$, maksimum eşleme var mı $M$ iki taraflı bir grafiğin $G$ öyle ki $G[M]$ dır-dir $2K_2$-ücretsiz ve $|M|>k$. Giriş grafiği dengeli ise, iki taraflı ve$k=|U|$, yukarıdaki sorunu alırız.

Teşekkür ederim.

Sürpriz! (benim için).
Bu tür eşleşmeler literatürde zaten incelenmiştir. Bunlara bağlantılı eşleşmeler denir .

Hadwiger varsayımı üzerine yaptıkları çalışmada Plummer, Stiebitz ve Toft tarafından tanıtıldı. Cameron'un "Kombinatoryal Optimizasyon - Eureka, Küçült!" Kitabında "Bağlı Eşleşmeler" bölümüne bakın.

Bipartit grafiklerde (gerekli dengeli değil) bağlı eşleşmelerin durumu bilgim dahilinde açıktır ( güncelleyeceğim ). İki taraflı grafikler için sorunun ağırlıklı sürümü NP-eksiksizdir. Sorun, kordal bipartit grafikler için çözülebilen polinom zamanıdır.

Güncelleme: sorun dengeli iki taraflı grafikler için NP-tamdır (yani, soruda sorulan problemin tamamı). Bu, Alon ve ark. Tarafından " Çoklu Görev Kapasitesi: Sertlik Sonuçları ve Geliştirilmiş Yapılar " makalesinde kanıtlanmıştır . Ayrıca, en büyük bağlantılı eşleşmenin boyutunu bulmanın,$n^{1-\epsilon}$ NP = ko-RP değilse.

Daha önce eklenen notlar (ilgilenen kişiler için tutulan):
" korda ikili grafiklerde Bağlı Eşleme Jobson vd". (doi: https://doi.org/10.1016/j.disopt.2014.06.003 ) ve Caragianis (tez) tarafından " Özel grafik ailelerinde bağlantılı eşleşmeler " iki önemli referanstır.

Bu soruyu sormanın başka bir yolu var. Mükemmel bir eşleşme var mı$M$ dengeli bir iki taraflı grafiğin $G$ öyle ki her kenar çifti $M$ birbirinden tam 1 uzaklıkta $G$?
(Kenarlar arasındaki mesafe$e$ ve $e’$ bir tepe noktasından en kısa yolun uzunluğu $e$ tepe noktasına $e’$).

Bu nedenle, ekstra koşul çizgi grafikten bir köşe alt kümesi bulmak için azalır $L(G)$ nın-nin $G$Böylece birbirinden tam olarak 2 mesafede maksimum boyutta köşe noktaları bulma problemi aday bir sorundur (söz konusu probleme yakın olmak). Son makalede , güçlü alt renklendirmenin algoritmik yönleri hakkında (MA Shalu, S. Vijayakumar, S. Devi Yamini ve TP Sandhya tarafından), bu soruna güçlü set denir .

Stong set probleminin bazı grafik sınıflarında NP-tam olduğu bilinmektedir. İki taraflı grafiklerin çizgi grafiklerindeki durumunu bilmiyorum. Makale, bipartit grafiklerde NP-tam olduğunu söylüyor. Buradaki ilgimiz, iki taraflı grafiklerin çizgi grafikleri sınıfında olacaktır.