Karekök toplamı-zor problemlerin toplamı?

Karekök toplamı sorunu, iki sekans verilen sorar ve toplamı olup, pozitif tamsayılar az, buna eşit veya daha büyük bir sum toplamından . Bu sorunun karmaşıklık durumu açık; bkz Bu yayını daha detaylı bilgi için. Bu problem, hesaplama geometrisinde, özellikle de Öklid'in en kısa yollarını içeren problemlerde doğal olarak ortaya çıkar ve bu problemler için algoritmaları gerçek RAM'den standart tamsayı RAM'e transfer etmede önemli bir engeldir. $a_1, a_2, \dots, a_n$ $b_1, b_2, \dots, b_n$ $\sum_i \sqrt{a_i}$ $\sum_i \sqrt{b_i}$

Karekök probleminin toplamından Π'a kadar bir polinom-zaman azalması varsa, bir problemi -karekök-toplamı-sert (kısaltılmış Σ√-sert?) Olarak adlandırın. Aşağıdaki sorunun karekök-toplamın toplamı olduğunu kanıtlamak zor değildir:

4d Öklid geometrik grafiklerinde en kısa yollar

Örnek: Köşeleri , kenarları Öklid distanı ile gösterilen ; iki köşe ve $G=(V,E)$ $\mathbb{Z}^4$ $s$ $t$

Çıkış: en kısa yolu için olarak . $s$ $t$ $G$

Elbette, bu problem, Dijkstra'nın algoritması kullanılarak gerçek RAM'deki polinom zamanında çözülebilir, ancak bu algoritmadaki her karşılaştırma, toplam kareler toplamı problemini çözmeyi gerektirir. Azaltma, herhangi bir tamsayının, dört mükemmel karenin toplamı olarak yazılabileceği gerçeğini kullanır; azaltma çıktısı aslında köşelerinde bir döngüdür . $2n+2$

Başka hangi problemler karekök toplamı-zor? Özellikle gerçek RAM üzerinde polinom zaman çözümü olan sorunlara özellikle ilgi duyuyorum. Bir ihtimal için önceki soruma bakınız .

Robin'in önerdiği gibi, sıkıcı cevaplar sıkıcıdır. Karelerin toplamı (örneğin, PSPACE veya EXPTIME) karesini içeren herhangi bir karmaşıklık sınıfı X için, her X-sert problemi sıkıcı bir şekilde karekök-kare toplamıdır.

— Jeffε
kaynak

Suresh ve Peter'a bu soruyu önerdikleri için teşekkür ederiz.

— Jeffε

Belki de önemsiz cevapları, cevapların sadece Toplam kareler toplamı problemini içerdiği bilinen bir sınıf için zor olan problemler olmaması gerektiği konusunda ısrar ederek de çıkarabilirsiniz. Mesela, herhangi bir PSPACE zor problemi, kareköklerin toplamı kadar zor olurdu, ama bu muhtemelen ilginç değil.

— Robin Kothari

Gerçekten en kısa yol problemi ifadesinde mü, yoksa mü? Birincisi bir tamsayı RAM kullanabiliyormuş gibi görünmüyor ve muhtemelen sorun hala tamsayı noktalarıyla sınırlı ... zor ...

R^{4}

$\mathbb{R}^4$

Z^{4}

$\mathbb{Z}^4$

— Steven Stadnicki

@Steven: Evet, haklısın. Düzenlenen.

— Jeffε

Yanıtlar:

Bu, aşağıdaki ankette biraz tartışıldı (21. Slayttan başlayarak): http://homepages.inf.ed.ac.uk/kousha/games08_tutorial.pdf

Euclidean TSP'den bahseden, gerçek Nash dengesi yaklaşımı ve PosSLP ve FIXP sınıflarından bahsediyor.

— Noam
kaynak

bu büyüleyici bir bağlantı.

— Suresh Venkat

Bu çok sıkıcı bir cevap olduğu için bir yorum olmalı, ancak yeterli üne sahip değilim.

Karekök sorun toplamı olan den [ABKM98] , bu sınıf için zor bir problem istenen özelliği, böylece. Bu, kareler toplamı problemini , düz çizgi probleminin pozitif bir tamsayıyı temsil edip etmediğine karar vermek olarak tanımlanan adı verilen bir soruna indirgemek suretiyle yapılır, böylece sorun toplamı zor olur. $P^{PP^{PP^{PP}}}$ $PosSLP$

[ABKM98]: Sayısal analizin karmaşıklığı üzerine, Allender, Burgisser, Kjeldgaard-Pedersen ve Miltersen.

— Abel Molina
kaynak

Sorunu ve sorunun sınırlı bir versiyonunun çok sayıda bit gerektirdiğini kanıtlayan bu gelişme [ mpi-inf.mpg.de/~csaha/Sum_sqrroot.pdf] de var.

{C o R P}^{P P}

${CoRP}^{PP}$

— Elias

@Elias: Ayrıntılı olabilir misiniz? İhtiyaçlı bir bakış açısına göre, Kayal ve Saha , karekök probleminin toplamı ile ilgili olan fakat bununla ilgili olan karekök probleminin toplamının “polinom versiyonunu” tartışıyor gibi görünmektedir.

— Tsuyoshi Ito

@Abel: (1) Merhaba Abel, yayınınızı görmekten memnun! (2) Buna değer, [ABKM98] CCC 2006’da sunuldu ve 2009’da yayınlandı . (3) Sıkıcı bir cevap yorum olmamalı, ancak kendinize saklanmalıdır. Ancak bunun sıkıcı bir cevap olduğunu sanmıyorum. :)

— Tsuyoshi Ito

@ Tsuyoshi: Sorunun polinom versiyonunu tamamen çözdüler. Buna göre bunlar ispat eğer özel formu vardır, yani burada , ve , o zaman soruna karar vermek için polinom bit sayısına ihtiyacımız var.

a_{i}

$a_i$

a_{i} = \sum_{i} b_{i} j X^{d_{i} - j}

$a_i=\sum_i{b_ij}X^{d_i-j}$

X > (B + 1)^{(n d)^{O (1)}}

$X>(B+1)^{(nd)^{O(1)}}$

B = m a x {b_{i j}}

$B=max\{b_{ij}\}$

d = m a x {d_{i}}

$d=max\{d_i\}$

— Elias

@ Tsuyoshi: Sorunuzu tamamen yanlış anladım. Bunun için üzgünüm. Kayal ve Saha'nın kanıtladığı şey, DegSLP'nin CoRP'de olduğu . Daha dikkatli olmalıyım. Bunun için teşekkür ederim.

C o R P^{P P}

$CoRP^{PP}$

— Elias