İrrasyonel ağırlıklara sahip maksimum akış algoritmalarına karşı örnek?

Yağ ağırlığı sezgisel (maksimum akış için iki algoritma) ile Ford-Fulkerson veya Edmonds-Karp'ın, bazı ağırlıkların irrasyonel olması durumunda durmaya ihtiyaç duymadığı bilinmektedir. Aslında, yanlış değer üzerinde bile birleşebilirler ! Bununla birlikte, literatürde bulabildiğim tüm örnekler [aşağıdaki referanslar ve içindeki referanslar] sadece tek bir irrasyonel değer kullanır: eşlenik altın oran$\phi' = (\sqrt{5}-1)/2$ve rasyonel veya rasyonel katları olan diğer değerler $\phi'$. Asıl sorum şu:

Genel Soru: Diğer irrasyonel değerlere ne olur?

Örneğin (ancak yayınlamak için tüm bunları cevaplamak zorunda gibi hissetmiyorum - herhangi birine veya yukarıdaki genel sorunun altındaki diğer sorulara ilginç bir cevap bulurum):

1. Herhangi biri verildi $\alpha \in \mathbb{R}$, böyle bir karşı örnek oluşturabilir (hatta varlığını gösterebilir)?

2. Daha zayıf: Bu örnekler sadece bu kullanım, bir akıl değeri bilinen esas farklı mesafede$\phi'$? Yani, bazı var mı$\alpha$ bu rasyonel bir kat değil $\phi'$ (veya daha güçlü bir şekilde $\mathbb{Q}(\phi')$) ve tüm ağırlıkların bulunduğu Ford-Fulkerson ve / veya Edmonds-Karp'a karşı örnekler olacak şekilde $\mathbb{Q}(\alpha)$?

3. Diğer yönde, irrasyonel var mı $\alpha$öyle ki Ford-Fulkerson (sırasıyla, Edmonds-Karp) ağırlıkları tüm grafiklerden olan tüm grafiklerde doğru değerle durur$\mathbb{Q} \cup \{q\alpha : q \in \mathbb{Q}\}$? (Veya daha güçlü bir şekilde,$\mathbb{Q}(\alpha)$?)

Her durumda, gerçek RAM modeli gibi bir şey varsaymak istiyorum, böylece gerçek sayıların kesin aritmetik ve tam karşılaştırmaları sabit zamanda yapılır.

(Rastgele gerçek ağırlıklarda bile güçlü polinom zamanında çalıştığı bilinen diğer maksimum akış algoritmaları vardır, bu yüzden belki de bu tür bir soru daha fazla araştırılmamış olabilir. , Hala bunu merak ediyorum.)

Referanslar

• Ford-Fulkerson için minimum karşı örnek Zwick TCS 1999 tarafından verildi

• Queyranne veya Queyranne Math tarafından Edmonds-Karp için bir karşı örnek verildi . İşl. Res. 1980 , bunun asgari olup olmadığını bilmiyorum.

• Bunların her ikisi de Jeff Erickson'un ders notlarında bulunabilir; bunlardan birincisi Bölüm 23.5'te, ikincisi ise Ders 23'ün Alıştırma 14'tür.

Cevap, her irrasyonel sayı için $r$, bir ağ var

• ile $n=6$ köşe noktaları ve $m=8$ yaylar,
• yedi yayın tamsayı kapasitesine sahip olduğu,
• bir yayın kapasitesine sahip olduğu $r$,
• ve hangi Ford-Fulkerson'ın feshedemeyeceği.

Bu makalede kanıtlanmıştır

Toshihiko Takahashi:
"Ford-Fulkerson Maksimum Akış Prosedürünün Sona
Erdirilemediği En Basit ve En Küçük Ağ" Bilgi İşlem Dergisi 24, s. 390-394, 2016.
Link: https: //www.jstage.jst.go. jp / haber / ipsjjip / 24/2 / 24_390 / _Article

Gerçekten doğal değil, oldukça eğlenceli bulduğum soru için teşekkür ederim.

Ford-Ferkulson kısmına baktım ve karşıt örnek olan ve irrasyonel kapasitesi α olan tek bir kenarı olan bir grafik bulduğumu düşünüyorum (grafik herhangi bir α için çalışabilir).

İşte girişimimi özetleyen bir PDF: https://louis.jachiet.com/tmp/jQwbrkSMLNU_draft.pdf (Üzgünüm şu an için biraz laconic ama soru sormaktan çekinmeyin)

Açıkçası Ford-Felkurson istediğimiz gibi artırım yolunu seçmemize izin veriyor ... Bunun Edmond-Karp için mümkün olacağından emin değilim.