Karşılaştırılamaz doğal sayılar

"En büyük sayı oyunu adı" iki oyuncudan gizlice bir sayı yazmasını ister ve kazanan daha büyük sayıyı yazan kişidir. Oyun genellikle oyuncuların bir noktada değerlendirilen işlevleri yazmasına izin verir, bu nedenle $2^{2^{2^{2}}}$ de yazmak için kabul edilebilir bir şey olacaktır.

Meşgul Kunduz işlevinin $BB(x)$ ) değeri, büyük $x$ değerleri için belirlenemez (ZFC'de veya makul tutarlı bir aksiyomatik sistemde) . Özellikle, $BB(10^4)$ bu kağıda göre belirlenemez . Ancak bu, Meşgul Kunduz işlevinin değerlerini karşılaştıramayacağımız anlamına gelmez. Örneğin, $BB(x)$ nin kesinlikle monotonik olduğunu kanıtlayabiliriz .

Oyuncuların temel işlevler, doğal sayılar ve Meşgul Kunduz işlevinin bileşimlerini içeren ifadeleri yazmasına izin verdiğimizi varsayalım. İki oyuncunun ZFC'de ZFC'de kazananı belirlemenin imkansız olduğunu kanıtlayabileceğimiz iki ifade var mı (ZFC'nin tutarlı olduğu varsayılarak)?

EDIT: Aslında bu soru, "... hesaplanabilir fonksiyonlar, doğal sayılar ve Meşgul Kunduz fonksiyonu keyfi kombinasyonları" dedi.

Biz izin verirsek $f(x)$ değerine almak $3$ eğer $BB(x) >$ ve [dinsiz büyük ve tarifsiz Bu web sitesindeki bir şey] $7$ o, o zaman değilse $f(10^4)$ ve $6$ kıyaslanamaz.

Bu beni tatmin etmiyor çünkü $f$ bu oyunda birisinin kullanması için makul bir işlev değil. Bununla ilgili sezgilerimi nasıl ifade edeceğimi göremiyorum, bu yüzden parçalı işlevlerden kaçınmak için soruyu kısıtladım.

computability undecidability

— Stella Biderman
kaynak

kararsızlığı , münferit bitlere kadar genişletilebilir mi? Eğer öyleyse, o zaman sadece bir karşılaştırma 3 en önemsiz bit gibi bir şey yapmak zorunda kalacak

8 en önemsiz bit ile.

B B (10^{4})

$BB(10^4)$

B B (10^{4})

$BB(10^4)$

— mhum

değeri nedeniyle gibi @mhum sorular zor olan

aslında bağımlı kodlar. Örneğin

in her zaman eşit olduğu kodlamalar vardır . Anladığım kadarıyla, bu satırlardaki tüm sorular kodlamaya bağlı olarak önemsiz bir şekilde hesaplanabilir veya açıktır.

B B (x)

$BB(x)$

B B (x)

$BB(x)$

— Stella Biderman

Bu yazıdaki cevaba göre: cstheory.stackexchange.com/questions/9652/… , BB gerçekten kesinlikle monotonik gibi görünüyor

— Avi Tal

Bu tür oyunları oynama sanatı kuralları bükmektir, bu yüzden bazı işlevlerin mantıksız olduğunu söylemenin önemli olduğunu düşünmüyorum. Oyunu oynayacak olsaydık, kesinlikle aklınıza gelebilecek en iğrenç işlevle (ve bir mantıkçıyım) vururdum.

— Andrej Bauer

B (m) > n

$B(m)>n$

m

$m$

n

$n$

B

$B$

$B$ $\Phi$ $\iff$ $\Phi$ $B$ $\neg$ $\iff$ $\Phi$

$\Phi$ $B(m_i)=n_i$ $1\le i\le k$

\sum_{i = 1}^{k} (B (m_{i}) - n_{i})^{2} > 0

$\sum_{i=1}^k (B(m_i)-n_i)^2>0$

\begin{matrix} (*) & \sum_{i = 1}^{k} B (m_{i})^{2} + n_{i}^{2} > \sum_{i = 1}^{k} 2 B (m_{i}) n_{i} \end{matrix}

$\sum_{i=1}^k B(m_i)^2+n_i^2>\sum_{i=1}^k 2B(m_i)n_i\tag{*}$

$m_i$ $n_i$

— Bjørn Kjos-Hanssen
kaynak

n, m

$n,m$

n_{0} = B (7910)

$n_0=B(7910)$

B (7910) \leq n_{0}

$B(7910)\le n_0$