Bu teori için yarı karar prosedürleri var mı?

Aşağıdaki yazılı teori var

|- 1_X : X -> X
f : A -> B, g : B -> C |- compose(g,f) : A -> C
F, f : A -> B |- apply(F,f) : F(A) -> F(B)

tüm terimler için denklemlerle:

f : A -> B, g : B -> C, h : C -> D |- compose(h,compose(f,g)) = compose(compose(h,f),g)
f : A -> B |- compose(f,1_A) = f
f : A -> B |- compose(1_B,f) = f
F |- apply(F,1_X) = 1_F(X)
f, f : A -> B, g : B -> C |- apply(F,compose(g,f)) = compose(apply(F,g),apply(F,f))

Bir dizi varsayımsal denklem verildiğinde bu teoride denklemleri ispatlayabilecek bir yarı karar prosedürü arıyorum. Tam bir karar prosedürünün mevcut olup olmadığı da açık değildir: Gruplar için kelime problemini kodlamanın herhangi bir yolu yoktur. Neel Krishnaswami, bu sorunun nasıl kodlanacağını gösterdi, bu yüzden genel sorun kararlaştırılamaz. Birliktelik ve kimlik alt-teorisi, teorinin monoid bir modeli kullanılarak kolayca kararlaştırılabilirken, tam sorun uyum yakınlığından daha zordur. Herhangi bir referans veya işaretçi memnuniyetle karşılanır!

Otomatik olarak kanıtlanmasını umduğumuz bir şeyin açık bir örneği:

f : X -> Y, F, G,
a : F(X) -> G(X), b : G(X) -> F(X),
c : F(Y) -> G(Y), d : G(Y) -> F(Y),
compose(a,b) = 1_F(X), compose(b,a) = 1_G(X),
compose(c,d) = 1_F(Y), compose(d,c) = 1_G(Y),
compose(c,apply(F,f)) = compose(apply(G,f),a)
|- compose(d,apply(G,f)) = compose(apply(F,f),b)

Bana öyle geliyor ki, kategori teorisi içindeki gruplar için problem kelimesini şu şekilde kodlayabilirsiniz. Bir amacı al ve grup, her jeneratör için iki morfizimler tanıtmak , ve hesaplamalar kabul ve . Daha sonra birimi kimlik haritası, grup çarpımı olacak kompozisyon ve dizgisinin olumsuzlaması , ters astarlanmış dize . Dolayısıyla bu problem çözülemez.x , x ′ : X → X x ∘ x ′ = 1 X x ′ ∘ x = 1 X x ∘ y ∘ z z ′ ∘ y ′ ∘ x $X$$x,x' : X \to X$$x \circ x' = 1_X$$x' \circ x = 1_X$$x\circ y\circ z$$z' \circ y' \circ x'$

Ancak, sorun sözcüğü birçok belirli grup için çözülebilir, bu nedenle sorun hakkında daha fazla ayrıntıya sahipseniz bu yardımcı olabilir. Özellikle, grupların teorisinden size çok yardımcı olabilecek bir fikir, sonlu olarak oluşturulmuş grupların mutlak sunumlarının çözülebilir olmasıdır - eşitsizlikler, teoriyi karar verilebilir hale getirmek için yeterince arama alanını bulabilir.

DÜZENLEME: Sahip olduğum ek bir düşünce, ilgilendiğiniz somut modeller denklemleri doğrulasa bile, irrelasyon eklemenin hala sizin için yararlı bir araç olabileceğidir. Bunun nedeni, kategorik durumlarda çoğu zaman sadece hoş bir değer için "hoş" denklemler istemeniz ve sizin için çok kötü olan çözümleri dışlamak için eşitsizlikleri kullanabilmenizdir. Karar prosedürünüz hala eksik olabilir, ancak bulabileceği çözümlerin "olası kanıt ağaçlarını 7 derinliğe kadar araştırıyoruz" ifadesinden daha doğal bir karakterizasyon elde edebilirsiniz.

İyi şanslar; Yaptığın bu eğlenceli şey oldukça havalı görünüyor!

Bir referans: Dexter Kozen, Christoph Kreitz ve Eva Richter tarafından Kategori Teorisinde Kanıtları Otomatikleştirme .