Bir monoton CNF'nin bir monoton DNF ima edip etmediğine karar verme sorunu

Aşağıdaki karar problemini düşünün

Girdi : Bir monoton CNF ve bir monoton DNF . $\Phi$ $\Psi$

Soru : bir totoloji midir? $\Phi \to \Psi$

Kesinlikle bu sorunu -zamanında çözebilirsiniz , burada değişken sayısı ve giriş uzunluğudur. Öte yandan, bu sorun coNP-complete'tur. Ayrıca, coNP-tamlığı sağlayan bir azalma da SETH başarısız olmadığı sürece bu problem için -zaman algoritması olmadığını gösterir. (bu pozitif için geçerlidir ). İşte bu azalma. Let bir (kesintisiz-monoton) CNF olabilir ve izin , değişken olabilir. Her pozitif oluşumunu yerine ile $O(2^n \cdot \mathrm{poly}(l))$ $n$ $\Phi \to \Psi$ $l$ $O(2^{(1/2 - \varepsilon)n} \mathrm{poly}(l))$ $\varepsilon$ $A$ $x$ $x$ $y$ ve her olumsuz bir durum ile . Her değişken için aynısını yapın. Elde edilen monoton CNF . iff tatmin edici olduğunu görmek kolaydır . Bu azalma değişkenlerin sayısını 2 katına çıkarır , bu da yukarıda belirtilen (SETH tabanlı) alt sınır anlamına gelir . $x$ $z$ $\Phi$ $A$ $\Phi \to yz \lor \ldots$ $2^{n/2}$

ve time arasında bir boşluk var . Benim sorum daha iyi bir algoritma veya SETH daha iyi bir azalma biliniyor mu? $2^{n/2}$ $2^n$

Sorunla ilgili görünen iki açıklama var:

bir monoton DNF'nin bir monoton CNF'yi ima edip etmediğine dair ters bir problem polinom zamanında önemsiz bir şekilde çözülebilir.
ilginç bir şekilde, ve Psi'nin aynı işlevi hesaplayıp hesaplamayacağına karar verme sorunu, Fredman ve Khachiyan'a bağlı yarı polinom zamanında çözülebilir (Monoton Ayrık Normal Formların İkiliğinin Karmaşıklığı Üzerine, Algoritmalar Dergisi 21 (1996), hayır 3, sayfa 618–628, doi: 10.1006 / jagm.1996.0062 ) $\Phi$ $\Psi$

exp-time-algorithms boolean-formulas fine-grained

— Sasha Kozachinskiy
kaynak

SETH varsayıldığında, bu sorunun zaman içinde çözülebilir değildir herhangi . $O\bigl(2^{(1-\epsilon)n}\mathrm{poly}(l)\bigr)$ $\epsilon>0$

İlk olarak, bunun ve keyfi monoton formüller olabileceği daha genel sorun için doğru olduğunu göstereyim . Bu durumda, TAUT'tan değişken sayısını koruyan soruna bir poli-zaman ctt azalması vardır. Let eşik işlevi belirtmektedir Ajtai – Komlós – Szemerédi sıralama ağı kullanılarak , time içinde oluşturulabilen polinom boyutlu bir monoton formülle yazılabilir . $\Phi$ $\Psi$ $T^n_t(x_0,\dots,x_{n-1})$

T_{t}^{n} (x_{0}, \dots, x_{n - 1}) = 1 ⟺ | {i < n : x_{i} = 1} | \geq t .

$T^n_t(x_0,\dots,x_{n-1})=1\iff\bigl|\{i<n:x_i=1\}\bigr|\ge t.$

T_{t}^{n}

$T^n_t$

p o l y (n)

$\mathrm{poly}(n)$

Bir Boole formülü verildiğinde , De Morgan kurallarını biçiminde yazmak için kullanabiliriz burada tek tonludur. O zaman sadece monoton her için geçerlidir , burada $\phi(x_0,\dots,x_{n-1})$

ϕ^{'} (x_{0}, \dots, x_{n - 1}, \neg x_{0}, \dots, \neg x_{n - 1}),

$\phi'(x_0,\dots,x_{n-1},\neg x_0,\dots,\neg x_{n-1}),$

ϕ^{'}

$\phi'$

ϕ (x_{0}, \dots, x_{n - 1})

$\phi(x_0,\dots,x_{n-1})$

T_{t}^{n} (x_{0}, \dots, x_{n - 1}) \to ϕ^{'} (x_{0}, \dots, x_{n - 1}, N_{0}, \dots, N_{n - 1})

$T^n_t(x_0,\dots,x_{n-1})\to\phi'(x_0,\dots,x_{n-1},N_0,\dots,N_{n-1})$

t \leq n

$t\le n$

N_{i} = T_{t}^{n - 1} (x_{0}, \dots, x_{i - 1}, x_{i + 1}, \dots, x_{n - 1}) .

$N_i=T^{n-1}_t(x_0,\dots,x_{i-1},x_{i+1},\dots,x_{n-1}).$

Sol-sağ ima için izin tatmin edici bir atama olabilir en az yani, olanlar. Orada var olan aynen ile olanları. Daha sonra , böylece eder . Bu monoton bir formül olduğundan, . Sağdan sola ima benzer. $e$ $T^n_t$ $t$ $e'\le e$ $t$ $e'\models N_i\leftrightarrow\neg x_i$ $e'\models\phi$ $e'\models\phi'(x_0,\dots,x_{n-1},N_0,\dots,N_{n-1})$ $e\models\phi'(x_0,\dots,x_{n-1},N_0,\dots,N_{n-1})$

Şimdi orijinal soruna döneyim. Aşağıdakileri göstereceğim: Eğer problem zaman içinde çözülebilirse , o zaman herhangi bir , -DNF-TAUT (veya dually, -SAT) içinde çözülebilir zaman . SETH bu anlamına gelir . $2^{\delta n}\mathrm{poly}(l)$ $k$ $k$ $k$ $2^{\delta n+O(\sqrt{kn\log n})}\mathrm{poly}(l)$ $\delta\ge1$

Yani, bir verilmiştir varsayalım -DNF her . Bu bölme içine değişkenler boyutu blok her. Yukarıdaki argümanla , yalnızca her için geçerlidir -tuple , burada herhangi bir $k$

ϕ = \underset{i < l}{⋁} (\underset{j \in A_{i}}{⋀} x_{j} \land \underset{j \in B_{i}}{⋀} \neg x_{j}),

$\phi=\bigvee_{i<l}\Bigl(\bigwedge_{j\in A_i}x_j\land\bigwedge_{j\in B_i}\neg x_j\Bigr),$

| A_{i} | + | B_{i} | \leq k

$|A_i|+|B_i|\le k$

i

$i$

n

$n$

n^{'} = n / b

$n'=n/b$

b \approx \sqrt{k^{- 1} n \log n}

$b\approx\sqrt{k^{-1}n\log n}$

ϕ

$\phi$

\begin{matrix} (*) & \underset{u < n^{'}}{⋀} T_{t_{u}}^{b} (x_{b u}, \dots, x_{b (u + 1) - 1}) \to \underset{i < l}{⋁} (\underset{j \in A_{i}}{⋀} x_{j} \land \underset{j \in B_{i}}{⋀} N_{j}) \end{matrix}

$\tag{$*$}\bigwedge_{u<n'}T^b_{t_u}(x_{bu},\dots,x_{b(u+1)-1})\to \bigvee_{i<l}\Bigl(\bigwedge_{j\in A_i}x_j\land\bigwedge_{j\in B_i}N_j\Bigr)$

n^{'}

$n'$

t_{0}, \dots, t_{n^{'} - 1} \in [0, b]

$t_0,\dots,t_{n'-1}\in[0,b]$

j = b u + j^{'}

$j=bu+j'$ , , boyutunda monoton CNF olarak yazabiliriz , bu nedenle nin LHS değeri boyutunda monoton CNF'dir . Sağ tarafta boyutunda monoton bir DNF olarak yazabiliriz . Dolayısıyla, dağıtılabilirlik kullanılarak, RHS'nin her bir kesimi boyutunda monoton bir DNF olarak yazılabilir ve RHS'nin tamamı boyutunda bir DNF'dir . İzler büyüklüğü eden bir sorun bir örneği olan içinde

0 \leq j^{'} < b

$0\le j'<b$

N_{j} = T_{t_{u}}^{b - 1} (x_{b u}, \dots, x_{b u + j^{'} - 1}, x_{b u + j^{'} + 1}, \dots, x_{b (u + 1) - 1}) .

$N_j=T^{b-1}_{t_u}(x_{bu},\dots,x_{bu+j'-1},x_{bu+j'+1},\dots,x_{b(u+1)-1}).$

T_{t}^{b}

$T^b_{t}$

O (2^{b})

$O(2^b)$

(*)

$(*)$

O (n 2^{b})

$O(n2^b)$

N_{j}

$N_j$

O (2^{b})

$O(2^b)$

O (2^{k b})

$O(2^{kb})$

O (l 2^{k b})

$O(l2^{kb})$

(*)

$(*)$

O (l 2^{O (k b)})

$O(l2^{O(kb)})$

n

$n$ değişkenler. Varsayımla, geçerlilik süresini . Bu kontrolü tüm seçenekleri için tekrarlıyoruz , bu nedenle toplam süre talep edildiği gibi.

O (2^{δ n + O (k b)} l^{O (1)})

$O(2^{\delta n+O(kb)}l^{O(1)})$

b^{n^{'}}

$b^{n'}$

\vec{t}

$\vec t$

O ((b + 1)^{n / b} 2^{δ n + O (k b)} l^{O (1)}) = O (2^{δ n + O (\sqrt{k n \log n})} l^{O (1)})

$O\bigl((b+1)^{n/b}2^{\delta n+O(kb)}l^{O(1)}\bigr)=O\bigl(2^{\delta n+O(\sqrt{kn\log n})}l^{O(1)}\bigr)$

Sorunun sınırlı genişlikli sürümünü göz önünde bulundurarak (S) ETH ile daha sıkı bir bağlantı : herhangi bir , -MonImp, bir -CNF ve olduğunda sorunun kısıtlamasını belirtsin bir -DNF'dir. (S) ETH sabitleri Benzer şekilde, Açıkça, $k\ge3$ $k$ $\Phi$ $k$ $\Psi$ $k$

\begin{aligned} s_{k} & = inf {δ : k - S A T \in D T I M E (2^{δ n})}, \\ s_{\infty} & = sup {s_{k} : k \geq 3} . \end{aligned}

$\begin{align*} s_k&=\inf\{\delta:k\text-\mathrm{SAT}\in\mathrm{DTIME}(2^{\delta n})\},\\ s_\infty&=\sup\{s_k:k\ge3\}. \end{align*}$

\begin{aligned} s_{k}^{'} & = inf {δ : k - M o n I m p \in D T I M E (2^{δ n})}, \\ s_{\infty}^{'} & = sup {s_{k}^{'} : k \geq 3} . \end{aligned}

$\begin{align*} s'_k&=\inf\{\delta:k\text-\mathrm{MonImp}\in\mathrm{DTIME}(2^{\delta n})\},\\ s'_\infty&=\sup\{s'_k:k\ge3\}. \end{align*}$

s_{3}^{'} \leq s_{4}^{'} \leq \dots \leq s_{\infty}^{'} \leq 1

$s'_3\le s'_4\le\dots\le s'_\infty\le1$ SAT durumunda olduğu gibi. Ayrıca ve çift değişkenli azalma Biz sürekli blok boyutu, yukarıda yapı uygulanır Şimdi, , elde ederiz dolayısıyla Özellikle, SETH ile eşdeğerdir ve ETH tüm için ile .

s_{k}^{'} \leq s_{k},

$s'_k\le s_k,$

s_{k} \leq 2 s_{k}^{'} .

$s_k\le2s'_k.$

b

$b$

s_{k} \leq s_{b k}^{'} + \frac{\log (b + 1)}{b},

$s_k\le s'_{bk}+\frac{\log(b+1)}b,$

s_{\infty} = s_{\infty}^{'} .

$s_\infty=s'_\infty.$

s_{\infty}^{'} = 1

$s'_\infty=1$

s_{k}^{'} > 0

$s'_k>0$

k \geq 3

$k\ge3$

— Emil Jeřábek 3.0
kaynak

Cevabınız için teşekkür ederim! Bu yapıda ve sürekli derinlik mümkün olup olmadığını merak ediyorum ? Yani, alt-büyüklükte sabit derinlikli monoton Boole formüllerinin (hatta monoton olmayan devrelerin) (özellikle Çoğunluk için) için ? Tabii ki derinlik- için alt sınırı var , ama diyelim ki boyutu iyi olurdu.

Φ

$\Phi$

Ψ

$\Psi$

T_{k}^{n}

$T^n_k$

2^{n^{Ω (1 / d)}}

$2^{n^{\Omega(1/d)}}$

d

$d$

2^{\sqrt{n}}

$2^{\sqrt{n}}$

— Sasha Kozachinskiy

T_{k}^{n}

$T^n_k$ ve polinom boyutlu formüller genel şey hesaplanabilir (örneğin, NC ^ 1), depth- sahip olarak boyutunun devreleri . Bkz. Örneğin cstheory.stackexchange.com/q/14700 . Onları monoton hale getirip getiremeyeceğinizi düşünmem gerekecek, ancak kulağa mantıklı geliyor.

d

$d$

2^{n^{O (1 / d)}}

$2^{n^{O(1/d)}}$

— Emil Jeřábek 3.0

TAMAM. İlk olarak, genel yapı monoton ayarında iyi çalışır: bir fonksiyonun poli-boyutlu monoton formülleri varsa, boyutunda derinlik- monoton devreleri vardır herhangi bir . İkincisi, özel olarak, girdiyi boyutundaki bloklara bölerek boyutunda monoton derinlik - devre oluşturmak kolaydır. .

d

$d$

2^{n^{O (1 / d)}} p o l y (n)

$2^{n^{O(1/d)}}\mathrm{poly}(n)$

d \geq 2

$d\ge2$

T_{k}^{n}

$T^n_k$

3

$3$

2^{O (\sqrt{n \log n})}

$2^{O(\sqrt{n\log n})}$

Θ (\sqrt{n \log n})

$\Theta(\sqrt{n\log n})$

— Emil Jeřábek 3.0

Aslında, bu fikri biraz daha iterek, orijinal soruya bir cevap veriyor: SETH varsayarsak, alt sınır monoton CNF ve monoton DNF için zaten geçerli . Daha sonra yazacağım.

Φ

$\Phi$

Ψ

$\Psi$

— Emil Jeřábek 3.0

Tüm değişkenleri yaklaşık blok ve sonra her için . Sen kullanabilirsiniz her eşik fonksiyonu için CNF -size. Ama sonra sağ tarafta DNF değil derinlik-3 formülü olacak ...

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

x^{1}, \dots x^{\sqrt{n}}

$x^1, \ldots x^{\sqrt{n}}$

T_{k_{1}}^{\sqrt{n}} (x^{1}) \land \dots \land T_{k_{\sqrt{n}}}^{\sqrt{n}} (x^{\sqrt{n}}) \to ϕ^{'}

$T^{\sqrt{n}}_{k_1}(x^1)\land \ldots \land T^{\sqrt{n}}_{k_\sqrt{n}}(x^{\sqrt{n}}) \to \phi^\prime$

k_{1} + \dots + k_{\sqrt{n}} \leq n

$k_1 + \ldots + k_{\sqrt{n}} \le n$

2^{\sqrt{n}}

$2^{\sqrt{n}}$

— Sasha Kozachinskiy